Решебник по алгебре 11 класс Никольский Параграф 5. Применение производной Задание 7

\[\boxed{\mathbf{7}\mathbf{.}}\]

\[\textbf{а)}\ y = \sqrt[3]{x} = x^{\frac{1}{3}};\ \ \lbrack - 1;1\rbrack\]

\[f^{'}(x) = \left( x^{\frac{1}{3}} \right)^{'} = \frac{1}{3}x^{- \frac{2}{3}} = \frac{1}{3\sqrt[3]{x^{2}}};\]

\[\frac{1}{3\sqrt[3]{x^{2}}} = 0\]

\[не\ имеет\ корней.\]

\[При\ x = 0\ производная\ \]

\[функции\ y = \sqrt[3]{x}\ не\ \]

\[существует.\]

\[0 \in \lbrack - 1;1\rbrack - критическая\]

\[\ точка.\]

\[Ответ:0.\]

\[\textbf{б)}\ y = \sqrt[5]{x} = x^{\frac{1}{5}};\ \ \lbrack - 2;2\rbrack\]

\[f^{'}(x) = \left( x^{\frac{1}{5}} \right)^{'} = \frac{1}{5}x^{- \frac{4}{5}} = \frac{1}{5\sqrt[5]{x^{4}}};\]

\[\frac{1}{5\sqrt[5]{x^{4}}} = 0\]

\[не\ имеет\ корней.\]

\[При\ x = 0\ производная\]

\[\ функции\ y = \sqrt[5]{x}\ не\]

\[\ существует.\]

\[0 \in \lbrack - 2;2\rbrack - критическая\ \]

\[точка.\]

\[Ответ:0.\]

\[\textbf{в)}\ y = 4\sqrt{x} - x = 4 \cdot x^{\frac{1}{2}} - x;\]

\[\ \ (0;5\rbrack\]

\[f^{'}(x) = 4 \cdot \frac{1}{2}x^{- \frac{1}{2}} - 1 = \frac{2}{\sqrt{x}} - 1;\]

\[\frac{2}{\sqrt{x}} - 1 = 0\]

\[\frac{2}{\sqrt{x}} = 1\]

\[\sqrt{x} = 2\]

\[x = 4.\]

\[4 \in (0;5\rbrack - критическая\ точка.\]

\[Ответ:4.\]

\[\textbf{г)}\ y = 2\sqrt{x} - x = 2x^{\frac{1}{2}} - x;\ \ (0;2\rbrack\]

\[f^{'}(x) = 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot x^{- \frac{1}{2}} - 1 = \frac{1}{\sqrt{x}} - 1;\]

\[\frac{1}{\sqrt{x}} - 1 = 0\]

\[\frac{1}{\sqrt{x}} = 1\]

\[\sqrt{x} = 1\]

\[x = 1.\]

\[1 \in (0;2\rbrack - критическая\ точка.\]

\[Ответ:1.\]