Решебник по алгебре 11 класс Никольский Параграф 4. Производная Задание 69

\[\boxed{\mathbf{69}\mathbf{.}}\]

\[y = kx + b - уравнение\ \]

\[прямой;\]

\[k - угловой\ коэффициент,\ \]

\[отвечающий\ за\ наклон;\]

\[b - свободный\ член,\ \]

\[отвечающий\ за\ сдивг\ \]

\[прямой\ относительно\]

\[начала\ координат.\]

\[Чтобы\ прямые\ совпали,\ у\ них\ \]

\[должны\ быть\ одинаковыми\ \]

\[наклон\ и\]

\[сдвиг\ относительно\ начала\]

\[\ координат.\]

\[Если\ в\ точке\ x_{0}\ к\ графику\ \]

\[проведена\ касательная,\ то\]

\[\ число\ f^{'}(x)\]

\[есть\ тангенс\ угла\ наклона\ \]

\[касательной.\]

\[Для\ одинакового\ наклона\ \]

\[производные\ двух\ функций\ \]

\[должны\ совпадать:\]

\[f^{'}\left( x_{0} \right) = g'\left( x_{0} \right);\ \ x_{0} = e.\]

\[f^{'}(x) = \left( e^{x} \right)^{'} = e^{x};\]

\[f^{'}\left( x_{0} = e \right) = e^{e}.\]

\[g^{'}(x) = \left( x^{e} \right)^{'} = e \cdot x^{e - 1};\]

\[g^{'}\left( x_{0} = e \right) = e \cdot e^{e - 1} =\]

\[= e^{1 + e - 1} = e^{e}.\]

\[f^{'}\left( x_{0} \right) = e^{e} = g^{'}\left( x_{0} \right).\]

\[Чтобы\ прямые\ с\ одинаковым\]

\[\ наклоном\ совпали,\ они\ \]

\[должны\]

\[проходить\ через\ одну\ точку:\]

\[f\left( x_{0} \right) = g\left( x_{0} \right) = e:\]

\[f\left( x_{0} \right) = f(e) = e^{e} =\]

\[= g(e) = g\left( x_{0} \right).\]

\[Значит,\ графики\ функций\ f(x)\]

\[\ и\ g(x)\ имеют\ общую\ \]

\[касательную\]

\[в\ точке\ с\ абсциссой\ x = e.\]

\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]