Решебник по алгебре 11 класс Никольский Параграф 4. Производная Задание 51

\[\boxed{\mathbf{51}\mathbf{.}}\]

\[\textbf{а)}\ \left( \sin{2x} \right)^{'} = 2\cos{2x}\ \]

\[\sin{2x} = 2\sin x\cos x;\]

\[\left( 2\sin x\cos x \right)^{'} = 2\left( \sin x\cos x \right)^{'} =\]

\[= 2\left( \left( \sin x \right)^{'}\cos x + \sin x\left( \cos x \right)^{'} \right) =\]

\[= 2\left( \cos x \cdot \cos x - \sin x \cdot \sin x \right) =\]

\[= 2\left( \cos^{2}x - \sin^{2}x \right) = \cos{2x}.\]

\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]

\[\textbf{б)}\ \left( 5^{2x} \right)^{'} = 5^{2x} \cdot \ln 25\]

\[5^{2x} = \left( 5^{2} \right)^{x} = 25^{x};\]

\[\left( 25^{x} \right)^{'} = 25^{x} \cdot \ln 25;\]

\[25^{x} \cdot \ln 25 = 5^{2x} \cdot \ln 25.\]

\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]

\[\textbf{в)}\ \left( \cos{2x} \right) \neq - 2\sin{2x}\]

\[\cos{2x} = \cos^{2}x - \sin^{2}x;\]

\[\left( \cos{2x} \right)^{'} = \left( \cos^{2}x \right)^{'} - \left( \sin^{2}x \right)^{'} =\]

\[= \left( \cos x \cdot \cos x \right)^{'} - \left( \sin x \cdot \sin x \right)^{'} =\]

\[= \left( \cos x \right)^{'} \cdot \cos x + \cos x \cdot \left( \cos x \right)^{'} -\]

\[- \left( \sin x \right)^{'} \cdot \sin x - \sin x \cdot \left( \sin x \right)^{'} =\]

\[= - \sin x \cdot \cos x - \cos x \cdot \sin x -\]

\[- \cos x \cdot \sin x - \sin x \cdot \cos x =\]

\[= - 4\sin x\cos x =\]

\[= - 2 \cdot 2\sin x\cos x = - 2\sin{2x}.\]

\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]

\[\textbf{г)}\ \left( \ln{17x} \right)^{'} = \frac{1}{x};\ \ \ x > 0\]

\[\ln{17x} = \ln 17 + \ln x\]

\[\left( \ln{17x} \right)^{'} = \left( \ln 17 + \ln x \right)^{'} =\]

\[= 0 + \frac{1}{x} = \frac{1}{x}.\]

\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]