Решебник по алгебре 11 класс Никольский Параграф 4. Производная Задание 16

\[\boxed{\mathbf{16}\mathbf{.}}\]

\[Если\ каждая\ из\ функций\ u_{1}(x);\]

\[u_{2}(x);\ldots;u_{n}(x)\ имеет\ в\ точке\ x\]

\[производную\ A_{1};A_{2};\ldots;\]

\[A_{n} - данные\ числа,\ то\ \]

\[справедливо\ равенство:\]

\[\left( A_{1}u_{1} + A_{2}u_{2} + \ldots + A_{n}u_{n} \right)^{'} =\]

\[= A_{1}u_{1}^{'} + A_{2}u_{2}^{'} + \ldots + A_{n}u_{n}^{'}.\]

\[n = 1:\]

\[\left( A_{1}u_{1} \right)^{'} = A_{1}u_{1}^{'}.\]

\[n = k:\]

\[\left( A_{1}u_{1} + A_{2}u_{2} + \ldots + A_{k}u_{k} + A_{k + 1}u_{k + 1} \right)^{'} =\]

\[= \left( A_{1}u_{1} + A_{2}u_{2} + \ldots + A_{k}u_{k} \right)^{'} +\]

\[+ \left( A_{k}u_{k} + A_{k + 1}u_{k + 1} \right)^{'} =\]

\[= A_{1}u_{1}^{'} + A_{2}u_{2}^{'} + \ldots + A_{k}u_{k}^{'} +\]

\[+ A_{k + 1}u_{k + 1}^{'}.\]

\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]