Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
МатематикаРешебник по алгебре 11 класс Никольский Параграф 2. Предел функции и непрерывность Задание 14
Задание 14
\[\boxed{\mathbf{14.}}\]
\[\textbf{а)}\ f(x) = x^{2};\ \ a = 1\]
\[\lim_{x \rightarrow 1}x^{2} = 1;\ \ X = R;\]
\[Функция\ определена\ в\ любой\ \]
\[окрестности\ точки\ a = 1.\]
\[Возьмем\ произвольное\ число\ \]
\[e,\ найдем\ \delta > 0,\ такое,\]
\[что\ для\ всех\ x,\ \]
\[удовлетворяющих\ неравенству\ \]
\[|x - 1| < \delta,\]
\[выполняется\ неравенство\]
\[\ \left| x^{2} - 1 \right| < e.\]
\[\left| x^{2} - 1 \right| =\]
\[= \left| \left( x^{2} - 2x + 1 \right) + 2x - 2 \right| =\]
\[= \left| (x - 1)^{2} + 2 \cdot (x - 1) \right| \leq\]
\[\left| (x - 1)^{2} \right| + \left| 2(x - 1) \right| < \delta^{2} +\]
\[+ 2\delta + 1 < (\delta + 1)^{2}\]
\[Пусть\ \delta = \sqrt{e} - 1:\]
\[\left| x^{2} - 1 \right| < (\delta + 1)^{2} =\]
\[= \left( \sqrt{e} - 1 + 1 \right)^{2} = \left( \sqrt{e} \right)^{2} = e.\]
\[Следовательно:\]
\[\lim_{x \rightarrow 1}x^{2} = 1.\]
\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]
\[\textbf{б)}\ f(x) = x^{2};\ \ a = 2\]
\[\lim_{x \rightarrow 2}x^{2} = 4;\ \ X = R;\]
\[Функция\ определена\ в\ любой\]
\[\ окрестности\ точки\ a = 2.\]
\[Возьмем\ произвольное\ число\]
\[\text{\ e},\ найдем\ \delta > 0,\ такое,\]
\[что\ для\ всех\ x,\]
\[\ удовлетворяющих\]
\[\ неравенству\ |x - 2| < \delta,\]
\[выполняется\ неравенство\]
\[\ \left| x^{2} - 4 \right| < e.\]
\[\left| x^{2} - 4 \right| =\]
\[= \left| \left( x^{2} - 4x + 4 \right) + 4x - 8 \right| =\]
\[= \left| (x - 2)^{2} + 4 \cdot (x - 2) \right| \leq\]
\[\left| (x - 2)^{2} \right| + \left| 4(x - 2) \right| < \delta^{2} +\]
\[+ 4\delta + 4 < (\delta + 2)^{2}\]
\[Пусть\ \delta = \sqrt{e} - 2:\]
\[\left| x^{2} - 4 \right| < (\delta + 2)^{2} =\]
\[= \left( \sqrt{e} - 2 + 2 \right)^{2} = \left( \sqrt{e} \right)^{2} = e.\]
\[Следовательно:\]
\[\lim_{x \rightarrow 2}x^{2} = 4.\]
\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]
\[\textbf{в)}\ f(x) = x^{- 1};\ \ a = 2;\]
\[\lim_{x \rightarrow 2}x^{- 1} = \frac{1}{2};\ \ X = R;\]
\[Функция\ определена\ в\ любой\ \]
\[окрестности\ точки\ a = 2.\]
\[Возьмем\ произвольное\ число\ \]
\[e,\ найдем\ \delta > 0,\ такое,\]
\[что\ для\ всех\ x,\ \]
\[удовлетворяющих\ \]
\[неравенству\ |x - 2| < \delta,\]
\[выполняется\ неравенство\]
\[\ \left| x^{- 1} - \frac{1}{2} \right| < e.\]
\[\left| x^{- 1} - \frac{1}{2} \right| = \left| \frac{1}{x} - \frac{1}{2} \right| =\]
\[= \left| \frac{1}{x - 2} - \frac{1}{2} \right| \leq\]
\[\leq \left| \frac{1}{x - 2} \right| + \left| - \frac{1}{2} \right| = \frac{1}{\delta} + \frac{1}{2}\]
\[Пусть\ \delta = \frac{1}{e - 1}:\]
\[\left| x^{- 1} - \frac{1}{2} \right| < \frac{1}{\delta} + \frac{1}{2} = \frac{1}{\frac{1}{e - 1}} +\]
\[+ \frac{1}{2} = e - 1 + \frac{1}{2} = e - \frac{1}{2} < e.\]
\[Следовательно:\]
\[\lim_{x \rightarrow 2}x^{- 1} = \frac{1}{2}.\]
\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]
\[\textbf{г)}\ f(x) = x^{- 2};\ \ a = 3\ \]
\[\lim_{x \rightarrow 3}x^{- 2} = \frac{1}{9};\ \ X = R;\]
\[Функция\ определена\ в\ любой\ \]
\[окрестности\ точки\ a = 3.\]
\[Возьмем\ произвольное\ число\ \]
\[e,\ найдем\ \delta > 0,\ такое,\]
\[что\ для\ всех\ x,\ \]
\[удовлетворяющих\ \]
\[неравенству\ |x - 3| < \delta,\]
\[выполняется\ неравенство\ \]
\[\left| x^{- 2} - \frac{1}{9} \right| < e.\]
\[\left| x^{- 2} - \frac{1}{9} \right| = \left| \frac{1}{x^{2}} - \frac{1}{9} \right| =\]
\[= \left| \frac{1}{x^{2} - 9} - \frac{1}{9} \right| \leq\]
\[\leq \left| \frac{1}{x^{2} - 9} \right| + \left| - \frac{1}{9} \right| =\]
\[= \left| \frac{1}{(x - 3)(x + 3)} \right| + \frac{1}{9} =\]
\[= \left| \frac{1}{(x - 3)^{2}} \right| + \frac{1}{9} = \frac{1}{\delta^{2}} + \frac{1}{9}\]
\[Пусть\ \delta = \frac{1}{\sqrt{e - 1}}:\]
\[\left| x^{- 2} - \frac{1}{9} \right| < \frac{1}{\delta^{2}} + \frac{1}{9} =\]
\[= \frac{1}{\left( \frac{1}{\sqrt{e - 1}} \right)^{2}} + \frac{1}{9} = e - 1 + \frac{1}{9} =\]
\[= e - \frac{8}{9} < e.\]
\[Следовательно:\]
\[\lim_{x \rightarrow 3}x^{- 2} = \frac{1}{9}.\]
\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]
\[\textbf{д)}\ f(x) = 3^{x};\ \ a = 1\]
\[\lim_{x \rightarrow 1}3^{x} = 3;\ \ X = R;\]
\[Функция\ определена\ в\ любой\]
\[\ окрестности\ точки\ a = 1.\]
\[Возьмем\ произвольное\ число\ \]
\[e,\ найдем\ \delta > 0,\ такое,\]
\[что\ для\ всех\ x,\]
\[\ удовлетворяющих\ \]
\[неравенству\ |x - 1| < \delta,\]
\[выполняется\ неравенство\ \]
\[\left| 3^{x} - 3 \right| < e.\]
\[\left| 3^{x} - 3 \right| = 3\left| 3^{x - 1} - 1 \right| \leq\]
\[\leq 3\left( \left| 3^{x - 1} \right| + | - 1| \right) =\]
\[= 3\left( 3^{x - 1} + 1 \right) < 3\left( 3^{\delta} + 1 \right)\]
\[Пусть\ \delta = \log_{3}\left( \frac{e - 1}{3} \right):\]
\[\left| 3^{x} - 3\ \right| < 3\left( 3^{\delta} + 1 \right) =\]
\[= 3\left( 3^{\log_{3}\left( \frac{e - 1}{3} \right)} + 1 \right) =\]
\[= 3\left( \frac{e - 1}{3} + 1 \right) =\]
\[= e - 1 + \frac{1}{3} = e - \frac{2}{3} < e.\]
\[Следовательно:\]
\[\lim_{x \rightarrow 1}3^{x} = 3.\]
\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]
\[\textbf{е)}\ f(x) = \log_{3}x;\ \ a = 2\]
\[\lim_{x \rightarrow 2}{\log_{3}x} = \log_{3}2;\ \ X = R;\]
\[Функция\ определена\ в\ любой\]
\[\ окрестности\ точки\ a = 2.\]
\[Возьмем\ произвольное\ число\]
\[\text{\ e},\ найдем\ \delta > 0,\ такое,\]
\[что\ для\ всех\ x,\ \]
\[удовлетворяющих\ \]
\[неравенству\ |x - 2| < \delta,\]
\[выполняется\ неравенство\]
\[\ \left| \log_{3}x - \log_{3}2 \right| < e.\]
\[\left| \log_{3}x - \log_{3}2 \right| =\]
\[= \left| \log_{3}|x| - \log_{3}2 \right| =\]
\[= |\log_{3}{|x - 2 + 2| - \log_{3}2|} \leq\]
\[\leq \left| \log_{3}|x - 2| + \log_{3}|2| - \log_{3}2 \right| =\]
\[= \left| \log_{3}\delta + \log_{3}2 - \log_{3}2 \right| =\]
\[= \left| \log_{3}\delta \right|\]
\[Пусть\ \delta = 3^{e} - 1:\]
\[\left| \log_{3}\delta\ \right| =\]
\[= \left| \log_{3}{3^{e} - 1} \right| < \left| \log_{3}3^{e} \right| =\]
\[= \left| e \cdot \log_{3}3 \right| = |e| = e.\]
\[Следовательно:\]
\[\lim_{x \rightarrow 2}{\log_{3}x} = \log_{3}2.\]
\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]
