Решебник по алгебре 11 класс Никольский Параграф 2. Предел функции и непрерывность Задание 13

\[\boxed{\mathbf{13.}}\]

\[\mathbf{а)\ }\lim_{x \rightarrow 4}{(3x - 7)} = 5;\ \ X = R\]

\[Функция\ определена\ в\ любой\ \]

\[окрестности\ точки\ a = 4.\]

\[Возьмем\ произвольное\ число\ \]

\[\text{e\ }и\ выберем\ число\]

\[\ \delta = \delta(e) > 0,\ такое,\]

\[что\ для\ всех\ x,\ \]

\[удовлетворяющих\]

\[\ неравенству\ |x - 4| < \delta,\]

\[выполняется\ неравенство\]

\[\ \left| (3x - 7) - 5 \right| < e.\]

\[\left| (3x - 7) - 5 \right| < e\]

\[|3x - 7 - 5| < e\]

\[|3x - 12| < e\]

\[3|x - 4| < e\]

\[|x - 4| < \frac{e}{3}.\]

\[При\ \delta = \frac{e}{3}\ для\ всех\ x,\]

\[\ удовлетворяющих\ неравенству\ \]

\[|x - 4| < \delta\left( = \frac{e}{3} \right),\ выполняется\]

\[\ неравенство\ \left| (3x - 7) - 5 \right| < e.\]

\[Следовательно:\]

\[\lim_{x \rightarrow 4}(3x - 7) = 5.\]

\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]

\[\textbf{б)}\ \lim_{x \rightarrow 2}{(5x - 9)} = 1;\ \ X = R\]

\[Функция\ определена\ в\ любой\ \]

\[окрестности\ точки\ a = 2.\]

\[Возьмем\ произвольное\ число\]

\[\text{\ e\ }и\ выберем\ число\ \]

\[\delta = \delta(e) > 0,\ такое,\]

\[что\ для\ всех\ x,\]

\[\ удовлетворяющих\]

\[\ неравенству\ |x - 2| < \delta,\]

\[выполняется\ неравенство\]

\[\ \left| (5x - 9) - 1 \right| < e.\]

\[|5x - 9 - 1| < e\]

\[|5x - 10| < e\]

\[5|x - 2| < e\]

\[|x - 2| < \frac{e}{5}.\]

\[При\ \delta = \frac{e}{5}\ для\ всех\ x,\]

\[\ удовлетворяющих\ неравенству\ \]

\[|x - 2| < \delta\left( = \frac{e}{5} \right),\ выполняется\ \]

\[неравенство\ \left| (5x - 9) - 1 \right| < e.\]

\[Следовательно:\]

\[\lim_{x \rightarrow 2}(5x - 9) = 1.\]

\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]

\[\textbf{в)}\ \lim_{x \rightarrow - 2}{( - x + 2)} = 4;\ \ X = R\]

\[Функция\ определена\ в\ любой\]

\[\ окрестности\ точки\ a = - 2.\]

\[Возьмем\ произвольное\ число\ e\]

\[\ и\ выберем\ число\ \delta = \delta(e) > 0,\]

\[\ такое,\]

\[что\ для\ всех\ x,\ \]

\[удовлетворяющих\ неравенству\]

\[\ |x + 2| < \delta,\]

\[выполняется\ неравенство\]

\[\ \left| ( - x + 2) - 4 \right| < e.\]

\[| - x + 2 - 4| < e\]

\[| - x - 2| < e\]

\[\left| ( - (x + 2) \right| < e\]

\[|x + 2| < e.\]

\[При\ \delta = e\ для\ всех\ x,\]

\[\ удовлетворяющих\ неравенству\ \]

\[|x + 2| < \delta( = e),\ выполняется\ \]

\[неравенство\ \left| ( - x + 2) - 4 \right| < e.\]

\[Следовательно:\]

\[\lim_{x \rightarrow - 2}( - x + 2) = 4.\]

\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]

\[\textbf{г)}\ \lim_{x \rightarrow 3}{( - 2x + 7)} = 1;\ \ X = R\]

\[Функция\ определена\ в\ любой\ \]

\[окрестности\ точки\ a = 3.\]

\[Возьмем\ произвольное\ число\ \]

\[\text{e\ }и\ выберем\ число\ \]

\[\delta = \delta(e) > 0,\ такое,\]

\[что\ для\ всех\ x,\ \]

\[удовлетворяющих\ неравенству\]

\[\ |x - 3| < \delta,\]

\[выполняется\ неравенство\]

\[\ \left| ( - 2x + 7) - 1 \right| < e.\]

\[| - 2x + 7 - 1| < e\]

\[| - 2x + 6| < e\]

\[\left| - 2(x - 3) \right| < e\]

\[2|x - 3| < e\]

\[|x - 3| < \frac{e}{2}.\]

\[При\ \delta = \frac{e}{2}\ для\ всех\ x,\]

\[\ удовлетворяющих\ \]

\[неравенству\ \]

\[|x - 3| < \delta\left( = \frac{e}{2} \right),\ выполняется\]

\[\ неравенство\]

\[\ \left| ( - 2x + 7) - 1 \right| < e.\]

\[Следовательно:\]

\[\lim_{x \rightarrow 3}( - 2x + 7) = 1.\]

\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]

\[\ д)\ \lim_{x \rightarrow - 4}{(3x + 10)} = - 2;\ \ X = R\]

\[Функция\ определена\ в\ любой\]

\[\ окрестности\ точки\ a = - 4.\]

\[Возьмем\ произвольное\ число\]

\[\text{\ e\ }и\ выберем\ число\ \]

\[\delta = \delta(e) > 0,\ такое,\]

\[что\ для\ всех\ x,\]

\[\ удовлетворяющих\ \]

\[неравенству\ |x + 4| < \delta,\]

\[выполняется\ неравенство\]

\[\ \left| (3x + 10) + 2 \right| < e.\]

\[|3x + 10 + 2| < e\]

\[|3x + 12| < e\]

\[3|x + 4| < e\]

\[|x + 4| < \frac{e}{3}.\]

\[При\ \delta = \frac{e}{3}\ для\ всех\ x,\]

\[\ удовлетворяющих\ неравенству\ \]

\[|x + 3| < \delta\left( = \frac{e}{3} \right),\ выполняется\ \]

\[неравенство\ \left| (3x + 10) + 2 \right| < e.\]

\[Следовательно:\]

\[\lim_{x \rightarrow - 4}(3x + 10) = - 2.\]

\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]

\[\textbf{е)}\ \lim_{x \rightarrow - 5}{(2x - 1)} = - 11;\ \ X = R\]

\[Функция\ определена\ в\ любой\ \]

\[окрестности\ точки\ a = - 5.\]

\[Возьмем\ произвольное\ число\ e\ \]

\[и\ выберем\ число\ \delta = \delta(e) > 0,\ \]

\[такое,\]

\[что\ для\ всех\ x,\ \]

\[удовлетворяющих\]

\[\ неравенству\ |x + 5| < \delta,\]

\[выполняется\ неравенство\]

\[\ \left| (2x - 1) + 11 \right| < e.\]

\[|2x - 1 + 11| < e\]

\[|2x + 10| < e\]

\[\left| 2(x + 5) \right| < e\]

\[2|x + 5| < e\]

\[|x + 5| < \frac{e}{2}.\]

\[При\ \delta = \frac{e}{2}\ для\ всех\ x,\]

\[\ удовлетворяющих\]

\[\ неравенству\ \]

\[|x + 5| < \delta\left( = \frac{e}{2} \right),\ выполняется\ \]

\[неравенство\]

\[\ \left| (2x - 1) + 11 \right| < e.\]

\[Следовательно:\]

\[\lim_{x \rightarrow - 5}(2x - 1) = - 11.\]

\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]