Решебник по алгебре 11 класс Никольский Параграф 13. Использование свойств функции при решении уравнений и неравенств Задание 19

\[\boxed{\mathbf{19.}}\]

\[\textbf{а)}\log_{2}{(x + 2)} > 1 - x\]

\[x + 2 > 0\]

\[x > - 2.\]

\[M_{1} = ( - 2;\ + \infty).\]

\[\log_{2}(x + 2) > 0\]

\[x + 2 > 1\]

\[x > - 1.\]

\[M_{2} = ( - 1;\ + \infty).\]

\[\log_{2}(x + 2) < 0\]

\[0 < x + 2 < 1\]

\[- 2 < x < - 1\]

\[M_{3} = ( - 2;\ - 1).\]

\[1 - x < 0\]

\[x < 1\]

\[M_{4} = (1; + \infty)\text{.\ }\]

\[1 - x > 0\]

\[M_{5} = ( - 2;1).\]

\[Проверим\ M_{4} = (1; + \infty):\]

\[\left\{ \begin{matrix} \log_{2}(x + 2) > 0 \\ x > 1\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\ \end{matrix} \right.\ \]

\[x + 2 > 1\]

\[x > - 1 \rightarrow удовлетворяет.\]

\[Проверим\ M_{3} = ( - 2; - 1):\]

\[\left\{ \begin{matrix} \log_{2}(x + 2) < 0 \\ 1 - x > 0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\ \end{matrix} \right.\ \text{\ \ \ \ }\]

\[\left\{ \begin{matrix} - 2 < x < - 1 \\ - 2 < x < 1\ \ \ \ \\ \end{matrix} \right.\ \]

\[нет\ решений.\]

\[Проверим\ ( - 1 < x < 0):\]

\[\log_{2}(x + 2) < 1;\]

\[1 - x < 1\]

\[нет\ корней.\]

\[Проверим\ (0 < x < 1):\]

\[\log_{2}(x + 2) > 1;\]

\[1 - x > 1\]

\[Удовлетворяет.\]

\[Объединим\ решения:\]

\[x \in (0;1) \cup (1; + \infty).\]

\[\textbf{б)}\log_{2}{(x + 4)} < - 1 - x\]

\[x + 4 > 0\]

\[x > - 4.\]

\[M = ( - 4; + \infty).\]

\[1)\ \left\{ \begin{matrix} \log_{2}{(x + 4)} > 0 \\ - 1 - x < 0\ \ \ \ \ \ \ \ \\ \end{matrix} \right.\ \]

\[\left\{ \begin{matrix} x > - 3 \\ x > - 1 \\ \end{matrix} \right.\ \]

\[M_{1} = ( - 1; + \infty)\]

\[\log_{2}(x + 4) > 0;\]

\[решений\ нет.\]

\[2)\ \left\{ \begin{matrix} \log_{2}{(x + 4)} < 0 \\ - 1 - x > 0\ \ \ \ \ \ \ \ \\ \end{matrix} \right.\ \]

\[\left\{ \begin{matrix} x < - 3 \\ x < - 1 \\ \end{matrix} \right.\ \]

\[M_{2} = ( - 4; - 3) - решение\ \]

\[неравенства.\]

\[3)\ \left\{ \begin{matrix} \log_{2}{(x + 4)} < 1 \\ - 1 - x > 1\ \ \ \ \ \ \ \ \ \\ \end{matrix} \right.\ \]

\[M_{3} = ( - 3; - 2) - решение\ \]

\[неравенства.\]

\[4)\ \left\{ \begin{matrix} \log_{2}{(x + 4)} > 1 \\ - 1 - x < 1\ \ \ \ \ \ \ \ \\ \end{matrix} \right.\ \]

\[M_{4} = ( - 2; - 1) - не\ является\ \]

\[решением.\]

\[Объединим:\]

\[x \in ( - 4; - 3) \cup ( - 3; - 2).\]

\[Ответ:x \in ( - 4; - 3) \cup ( - 3; - 2).\]

\[\textbf{в)}\log_{0,5}{(x - 2)} > x - 3\]

\[x - 2 > 0\]

\[x > 2.\]

\[M = (2; + \infty).\]

\[1)\ \left\{ \begin{matrix} \log_{0,5}{(x - 2)} > 0 \\ x - 3 < 0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\ \end{matrix} \right.\ \]

\[\left\{ \begin{matrix} x - 2 < 1 \\ x - 3 < 0 \\ \end{matrix} \right.\ \]

\[\left\{ \begin{matrix} x < 3 \\ x < 3 \\ \end{matrix} \right.\ \]

\[M_{1} = (2;3) - является\ \]

\[решением.\]

\[2)\ \left\{ \begin{matrix} \log_{0,5}{(x - 2)} < 0 \\ x - 3 > 0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\ \end{matrix} \right.\ \]

\[\left\{ \begin{matrix} x > 3 \\ x > 3 \\ \end{matrix} \right.\ \]

\[M_{2} = (3; + \infty) - не\ является\ \]

\[решением.\]

\[Объединим:\]

\[x \in (2;3).\]

\[Ответ:\ x \in (2;3).\]

\[\textbf{г)}\log_{0,5}{(x + 2)} < x - 1\]

\[x + 2 > 0\]

\[x > - 2.\]

\[M = ( - 2;\ + \infty).\]

\[1)\ \left\{ \begin{matrix} \log_{0,5}(x + 2) > 0 \\ x - 1 < 0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\ \end{matrix} \right.\ \]

\[\left\{ \begin{matrix} x + 2 < 1 \\ x - 1 < 0 \\ \end{matrix} \right.\ \]

\[\left\{ \begin{matrix} x < - 1 \\ x < 1\ \ \ \\ \end{matrix} \right.\ \]

\[M_{1} = ( - 2; - 1) - не\ является\ \]

\[решением.\]

\[2)\ \left\{ \begin{matrix} \log_{0,5}{(x + 2)} < 0 \\ x - 1 > 0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\ \end{matrix} \right.\ \]

\[\left\{ \begin{matrix} x + 2 > 1 \\ x - 1 > 0 \\ \end{matrix} \right.\ \]

\[\left\{ \begin{matrix} x > - 1 \\ x > 1\ \ \ \\ \end{matrix} \right.\ \]

\[M_{2} = (1; + \infty) - не\ является\ \]

\[решением.\]

\[Ответ:не\ имеет\ решений.\]