Решебник по алгебре 11 класс Никольский Параграф 1. Функции и их графики Задание 13

\[\boxed{\mathbf{13.}}\]

\[Так\ как\ функция\ y = f(x),\ \]

\[определенная\ на\ множестве\ X,\ \]

\[ограничена\ и\ сверху,\ и\ снизу\]

\[на\ этом\ множестве,\ то\]

\[существуют\ числа\ \text{A\ }и\ B,\ \]

\[такие,\ что\ для\ каждого\ x \in X\]

\[верно\ неравенство:\]

\[A \leq f(x) \leq B.\]

\[Возможны\ три\ случая:\]

\[1)\ A > 0:\]

\[B > 0;f(x) > 0;\]

\[\left| f(x) \right| = f(x) \leq B\ для\ каждого\]

\[x \in X.\]

\[2)\ B < 0:\]

\[A < 0;\ \ f(x) < 0:\]

\[\left| f(x) \right| = - f(x) \leq - A = |A|\]

\[для\ каждого\ x \in X.\]

\[3)\ A \leq 0;\ \ B \geq 0:\]

\[- C < f(x) < C;где\]

\[C = 1 + \max\left( |A|;b \right);то\ есть\]

\[\left| f(x) \right| < C\ для\ каждого\ \]

\[x \in X.\]

\[Следовательно:\]

\[существует\ число\ M \geq 0,\]

\[такое,\ что\ \left| f(x) \right| \leq M\ для\]

\[каждого\ x \in X.\]

\[Значит:\]

\[функция\ y = f(x)\ ограничена\]

\[на\ множестве\ \text{X.}\]

\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]