Решебник по алгебре и начала математического анализа 11 класс Колягин Задание 640

\[n - натуральное\ число:\]

\[\left( \frac{1 + i\ tg\ a}{1 - i\ tg\ a} \right)^{n} = \frac{1 + i\ tg\ a}{1 - i\ tg\ a}.\]

\[1)\ r = \sqrt{1^{2} + tg^{2}\text{\ a}} =\]

\[= \sqrt{tg^{2}\ a + 1} = \sqrt{\frac{1}{\cos^{2}a}} = \frac{1}{\cos a};\]

\[\cos\varphi = \frac{a}{r} = 1\ :\frac{1}{\cos a} = \cos a;\]

\[1 + i\ tg\ a = \frac{1}{\cos a}\left( \cos a + i\sin a \right).\]

\[2)\ 1 - i\ tg\ a = \overline{1 + i\ tg\ a} =\]

\[= \frac{1}{\cos a}\left( \cos a - i\sin a \right).\]

\[3)\ \frac{1 + i\ tg\ a}{1 - i\ tg\ a} = \frac{\cos a + i\sin a}{\cos a - i\sin a} =\]

\[= \frac{\cos a + i\sin a}{\cos( - a) + i\sin( - a)} =\]

\[= \cos(a - a) + i\sin(a - a) =\]

\[= \cos 0 + i\sin 0 = 1.\]

\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]