Решебник по алгебре и начала математического анализа 11 класс Колягин Задание 407

\[1)\ S_{n} = \frac{2a_{1} + (n - 1)d}{2} \bullet n\]

\[n = 1:\]

\[S_{n} = \frac{2a_{1} + (1 - 1)d}{2} \bullet 1 = a_{1}.\]

\[n = k + 1:\]

\[S_{k + 1} =\]

\[= \frac{2a_{1} + (k + 1 - 1)d}{2} \bullet (k + 1) =\]

\[= \frac{\left( 2a_{1} + kd \right)(k + 1)}{2} =\]

\[= \frac{2a_{1}k + 2a_{1} + k^{2}d + kd}{2} =\]

\[= \frac{2a_{1}k + k^{2}d - kd}{2} + \frac{2a_{1} + 2kd}{2} =\]

\[= \frac{2a_{1} + (k - 1)d}{2} \bullet k + \left( a_{1} + kd \right) =\]

\[= S_{k} + a_{k + 1}.\]

\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]

\[2)\ S_{n} = \frac{b_{1} \bullet (q^{n} - 1)}{q - 1}\]

\[n = 1:\]

\[S_{1} = \frac{b_{1} \bullet \left( q^{1} - 1 \right)}{q - 1} = b_{1}.\]

\[n = k + 1:\]

\[S_{k + 1} = \frac{b_{1} \bullet \left( q^{k + 1} - 1 \right)}{q - 1} =\]

\[= \frac{b_{1} \bullet \left( q^{k} - 1 + q^{k + 1} - q^{k} \right)}{q - 1} =\]

\[= \frac{b_{1} \bullet \left( q^{k} - 1 + q^{k}(q - 1) \right)}{q - 1} =\]

\[= \frac{b_{1} \bullet \left( q^{k} - 1 \right) + bq^{k}(q - 1)}{q - 1} =\]

\[= \frac{b_{1} \bullet \left( q^{k} - 1 \right)}{q - 1} + bq^{k} =\]

\[= S_{k} + b_{k + 1}.\]

\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]