Решебник по алгебре и начала математического анализа 11 класс Колягин Задание 270

\[1)\ y = \frac{x^{3}}{x^{2} + 3};\]

\[y^{'} =\]

\[= \frac{\left( x^{3} \right)^{'} \bullet \left( x^{2} + 3 \right) - x^{3} \bullet \left( x^{2} + 3 \right)^{'}}{\left( x^{2} + 3 \right)^{2}} =\]

\[= \frac{3x^{2}\left( x^{2} + 3 \right) - x^{3} \bullet 2x}{\left( x^{2} + 3 \right)^{2}} =\]

\[= \frac{3x^{4} + 9x^{2} - 2x^{4}}{\left( x^{2} + 3 \right)^{2}} =\]

\[= \frac{x^{4} + 9x^{2}}{\left( x^{2} + 3 \right)^{2}} \geq 0.\]

\[Ответ:\ \ \]

\[возрастает\ на\ ( - \infty;\ + \infty).\]

\[2)\ y = (x - 1)^{3}(2x + 3)^{2};\]

\[= (x - 1)^{2} \bullet (2x + 3) \bullet (10x + 5).\]

\[Промежуток\ возрастания:\]

\[(x - 1)^{2} \bullet (2x + 3)(10x + 5) \geq 0\]

\[(2x + 3)(2x + 1) \geq 0\]

\[x \leq - 1,5;\text{\ \ \ x} \geq - 0,5.\]

\[Ответ:\ \ \]

\[возрастает\ на\ \]

\[( - \infty;\ - 1,5\rbrack \cup \lbrack - 0,5;\ + \infty);\]

\[убывает\ на\ \lbrack - 1,5;\ - 0,5\rbrack.\]

\[3)\ y = (x - 1)e^{3x};\]

\[y^{'} =\]

\[= (x - 1)^{'} \bullet e^{3x} + (x - 1) \bullet \left( e^{3x} \right)^{'} =\]

\[= 1 \bullet e^{3x} + (x - 1) \bullet 3e^{3x} =\]

\[= e^{3x} \bullet (1 + 3x - 3) =\]

\[= e^{3x} \bullet (3x - 2).\]

\[Промежуток\ возрастания:\]

\[e^{3x} \bullet (3x - 2) \geq 0\]

\[3x - 2 \geq 0\]

\[x \geq \frac{2}{3}.\]

\[Ответ:\ возрастает\ на\ \left\lbrack \frac{2}{3};\ + \infty \right);\]

\[\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ убывает\ на\ \left( - \infty;\ \frac{2}{3} \right\rbrack.\]

\[4)\ y = xe^{- 3x};\]

\[y^{'} = x^{'} \bullet e^{- 3x} + x \bullet \left( e^{- 3x} \right)^{'} =\]

\[= 1 \bullet e^{- 3x} + x \bullet \left( - 3e^{- 3x} \right) =\]

\[= e^{- 3x} \bullet (1 - 3x).\]

\[Промежуток\ возрастания:\]

\[e^{- 3x} \bullet (1 - 3x) \geq 0\]

\[3x - 1 \leq 0\]

\[x \leq \frac{1}{3}.\]

\[Ответ:\ возрастает\ на\ \left( - \infty;\ \frac{1}{3} \right\rbrack;\]

\[\text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ }\text{\ \ \ \ \ \ }убывает\ на\ \left\lbrack \frac{1}{3};\ + \infty \right).\]