Решебник по алгебре и начала математического анализа 11 класс Колягин Задание 1089

\[r\ - радиус\ основания;\]

\[\text{h\ } - высота\ конуса.\]

\[1)\ r = \sqrt{h \bullet (2R - h)}\]

\[r^{2} = 2Rh - h^{2}.\]

\[2)\ Объем\ конуса:\]

\[V(h) = \frac{1}{3}\text{πh}r^{2} =\]

\[= \frac{1}{3}\text{πh}\left( 2Rh - h^{2} \right) =\]

\[= \frac{2}{3}\text{πR}h^{2} - \frac{1}{3}\pi h^{3};\]

\[V^{'}(h) = \frac{2}{3}\text{πR}\left( h^{2} \right)^{'} - \frac{1}{3}\pi\left( h^{3} \right)^{'} =\]

\[= \frac{4}{3}\pi Rh - \pi h^{2}.\]

\[3)\ Промежуток\ возрастания:\]

\[\frac{4}{3}\pi Rh - \pi h^{2} \geq 0\]

\[4\pi Rh - 3\pi h^{2} \geq 0\]

\[\pi h \bullet (4R - 3h) \geq 0\]

\[h \bullet (3h - 4R) \leq 0\]

\[0 \leq h \leq \frac{4R}{3}.\]

\[4)\ Точка\ максимума:\]

\[h = \frac{4R}{3}.\]

\[Ответ:\ \ \frac{4R}{3}.\]