Решебник по алгебре и начала математического анализа 11 класс Колягин Задание 1082

\[A(3;\ - 1);\ \ \ D(4;\ - 1)\]

\[y = 1 - x^{2}\ \ на\ \lbrack - 1;\ 1\rbrack.\]

\[1)\ \text{AD} = 4 - 3 = 1.\]

\[2)\ Функция\ четная:\]

\[y( - x) = 1 - ( - x)^{2} =\]

\[= 1 - x^{2} = y(x).\]

\[3)\ x - абсцисса\ вершины\ \]

\[второго\ основания:\]

\[( - x) - абсцисса\ второй\ точки\ \]

\[этого\ основания;\]

\[BC = x - ( - x) = 2x - длина\ \]

\[второго\ основания;\]

\[h = y(x) - ( - 1) =\]

\[= \left( 1 - x^{2} \right) + 1 = 2 - x^{2}.\]

\[4)\ S(x) = \frac{1}{2}h \bullet (AD + BC) =\]

\[= \frac{1}{2}\left( 2 - x^{2} \right)(2x + 1) =\]

\[= \frac{1}{2}\left( 4x + 2 - 2x^{3} - x^{2} \right).\]

\[5)\ S^{'}(x) = \frac{1}{2}\left( 4 - 2 \bullet 3x^{2} - 2x \right) =\]

\[= 2 - 3x^{2} - x.\]

\[6)\ Промежуток\ возрастания:\]

\[2 - 3x^{2} - x \geq 0\]

\[3x^{2} + x - 2 \leq 0\]

\[D = 1 + 24 = 25\]

\[x_{1} = \frac{- 1 - 5}{2 \bullet 3} = - 1;\]

\[x_{2} = \frac{- 1 + 5}{2 \bullet 3} = \frac{2}{3};\]

\[(x + 1)\left( x - \frac{2}{3} \right) \leq 0\]

\[- 1 \leq x \leq \frac{2}{3}.\]

\[7)\ Точка\ максимума:\]

\[S\left( \frac{2}{3} \right) =\]

\[= \frac{1}{2} \bullet \left( 4 \bullet \frac{2}{3} + 2 - 2 \bullet \frac{8}{27} - \frac{4}{9} \right) =\]

\[= \frac{1}{2} \bullet \frac{72 + 54 - 16 - 12}{27} = \frac{49}{27}.\]

\[Ответ:\ \ \frac{49}{27}.\]