Решебник по алгебре и начала математического анализа 11 класс Алимов Задание 972

\[\boxed{\mathbf{972}\mathbf{.}}\]

\[\text{a\ }и\ b - длины\ катетов;\ \]

\[c - длина\ гипотенузы:\]

\[l = c + a \rightarrow c = l - a;\]

\[b = \sqrt{c^{2} - a^{2}} =\]

\[= \sqrt{(l - a)^{2} - a^{2}} =\]

\[= \sqrt{l^{2} - 2la + a^{2} - a^{2}} =\]

\[= \sqrt{l^{2} - 2la};\]

\[S(a) = \frac{1}{2} \bullet ab = \frac{1}{2}a \bullet \sqrt{l^{2} - 2la}.\]

\[= \frac{\sqrt{l^{2} - 2la}}{2} - \frac{\text{la}}{2\sqrt{l^{2} - la}} =\]

\[= \frac{l^{2} - 2la - la}{4\sqrt{l^{2} - la}} = l \bullet \frac{l - 3a}{4\sqrt{l^{2} - la}}.\]

\[Промежуток\ возрастания:\]

\[l - 3a > 0\]

\[3a < l\]

\[a < \frac{l}{3}.\]

\[a = \frac{l}{3} - точка\ максимума;\]

\[c = l - \frac{l}{3} = \frac{2l}{3};\]

\[b = \sqrt{l^{2} - \frac{2l^{2}}{3}} = \sqrt{l^{2} \bullet \left( 1 - \frac{2}{3} \right)} =\]

\[= l \bullet \sqrt{\frac{1}{3}} = \frac{l}{\sqrt{3}}.\]

\[Ответ:\ \ катеты\ \frac{l}{3}\ и\ \frac{l}{\sqrt{3}},\ \]

\[гипотенуза\ \frac{2l}{3}.\]