Решебник по алгебре и начала математического анализа 11 класс Алимов Задание 963

\[\boxed{\mathbf{963}\mathbf{.}}\]

\[\mathbf{С}\mathbf{тороны\ прямоугольника\ }\]

\[равны\ a\ и\ b:\]

\[P = 2a + 2b \rightarrow \ b = \frac{P}{2} - a.\]

\[d(a) = \sqrt{a^{2} + b^{2}} =\]

\[= \sqrt{a^{2} + \left( \frac{P}{2} - a \right)^{2}} =\]

\[= \sqrt{a^{2} + \frac{P}{4} - Pa + a^{2}} =\]

\[= \sqrt{2a^{2} - Pa + \frac{P}{4}}.\]

\[Пусть\ u = 2a^{2} - Pa + \frac{P}{4};\ \]

\[d(u) = \sqrt{u}:\]

\[d^{'}(x) =\]

\[= \left( 2a^{2} - Pa + \frac{P}{4} \right)^{'} \bullet \left( \sqrt{u} \right)^{'} =\]

\[= (\ 2 \bullet 2a - P) \bullet \frac{1}{2\sqrt{u}} =\]

\[= \frac{4a - P}{2\sqrt{2a^{2} - Pa + \frac{P}{4}}}.\]

\[Промежуток\ возрастания:\]

\[4a - P > 0\]

\[4a > P\]

\[a > \frac{P}{4}.\]

\[a = \frac{P}{4} - точка\ минимума;\]

\[b = \frac{P}{2} - \frac{P}{4} = \frac{P}{4}.\]

\[Прямоугольник\ с\ данным\ \]

\[периметром\ P\ имеет\ \]

\[наименьшую\ диагональ,\ если\ \]

\[его\ стороны\ равны,\ то\ есть\ \]

\[если\ он\ является\ квадратом.\]

\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]