952.
ПустьширинадосокиПусть x−ширина досок и
уголнаклонакоснованиюa−угол наклона к основанию:
h=AM=DN=
=AB∙sin∠BAM=x∙sina;
BM=CN=AB∙cos∠BAM=
=x∙cosa;
BC=AD+BM+CN=
=x+2x∙cosa.
СечениежелобаимеетформуСечение желоба имеет форму
равнобокойтрапецииравнобокой трапеции:
S(x)=12∙h∙(AD+BC)=
=12∙x∙sina∙(x+x+2x∙cosa);
S(x)=
=x∙sina∙2x∙(1+cosa)2=
=x2∙sina∙(1+cosa);
=x2∙(sina+sina∙cosa)=
=x2∙(sina+12sin2a).
S′(a)=
=x2∙((sina)′+12∙(sin2x)′);
=x2∙(cosa+12∙2cos2a);
S′(a)=x2∙(cosa+cos2a).
ПромежутоквозрастанияПромежуток возрастания:
cosa+cos2a=0
cosa+cos2a−sin2a=0
cosa+cos2a−1+cos2a=0
2cos2a+cosa−1=0.
ПустьПусть y=cosa:
2y2+y−1=0
D=12+4∙2=1+8=9
y1=−1−32∙2=−1;\ \
y2=−1+32∙2=12.
(y+1)(y−0,5)>0
илиy<−1 или y>0,5.
неткорней1) cosx<−1−нет корней.
2) cosx>12
−π3+2πn<x<π3+2πn.
точкамаксимума3) a=π3−точка максимума.
∠BAM=90∘−a=π2−π3=π6.
∠BAD=∠BAM+90∘=
=π6+π2=2π3.
ОтветОтвет: 2π3.