Решебник по алгебре и начала математического анализа 11 класс Алимов Задание 892

\[\boxed{\mathbf{892}\mathbf{.}}\]

\[1)\ f(x) = \frac{k}{x}\ k > 0\ {\ x}_{0}:\]

\[f^{'}\left( x_{0} \right) = k \bullet \left( \frac{1}{x} \right)^{'} = - \frac{k}{x^{2}} =\]

\[= - \frac{k}{x_{0}^{2}} = \frac{k}{x_{0}}\]

\[y = \frac{k}{x_{0}} - \frac{k}{x_{0}^{2}} \bullet \left( x - x_{0} \right) =\]

\[= \frac{k}{x_{0}} - \frac{\text{kx}}{x_{0}^{2}} + \frac{k}{x_{0}} = \frac{k}{x_{0}} \bullet \left( 2 - \frac{x}{x_{0}} \right).\]

\[2)\ С\ осью\ x:\]

\[y(0) = \frac{k}{x_{0}} \bullet \left( 2 - \frac{0}{x_{0}} \right) = \frac{2k}{x_{0}}.\]

\[С\ осью\ y:\]

\[\frac{k}{x_{0}} \bullet \left( 2 - \frac{x}{x_{0}} \right) = 0\]

\[2 - \frac{x}{x_{0}} = 0\]

\[\frac{x}{x_{0}} = 2\]

\[x = 2x_{0}.\]

\[Площадь\ треугольника:\]

\[S = \frac{2k}{x_{0}} \bullet 2x_{0} = 4k.\]

\[Следовательно,\ площадь\ \]

\[отсекаемого\ касательной\ \mathrm{\Delta}\]

\[постоянна\ и\ равна\ 4k.\]

\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]

\[3)\left( x_{0}\ \frac{2k}{x_{0}} \right)\ и\ \left( 2x_{0}\ 0 \right).\]

\[Первая\ точка:\]

\[y\left( x_{0} \right) = \frac{k}{x_{0}} \bullet \left( 2 - \frac{x}{x_{0}} \right) =\]

\[= \frac{k}{x_{0}} \bullet \left( 2 - \frac{x_{0}}{x_{0}} \right) =\]

\[= \frac{k}{x_{0}} \bullet (2 - 1) = \frac{k}{x_{0}}.\]

\[Вторая\ точка:\]

\[y\left( 2x_{0} \right) = \frac{k}{x_{0}} \bullet \left( 2 - \frac{2x_{0}}{x_{0}} \right) =\]

\[= \frac{k}{x_{0}} \bullet (2 - 2) = 0.\]

\[Следовательно,\ вторая\ точка\ \]

\[принадлежит\ касательной.\]

\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]