Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
МатематикаРешебник по алгебре и начала математического анализа 11 класс Алимов Задание 883
Задание 883
\[\boxed{\mathbf{883}\mathbf{.}}\]
\[1)\ f(x) = 2^{x} + 2^{- x}\]
\[f^{'}(x) = \left( 2^{x} \right)^{'} + \left( 2^{- x} \right)^{'} =\]
\[= 2^{x} \bullet \ln 2 - 2^{- x} \bullet \ln 2 =\]
\[= \ln 2 \bullet \left( 2^{x} - 2^{- x} \right)\]
\[Равна\ нулю\ при:\]
\[2^{x} - 2^{- x} = 0\]
\[2^{x} = 2^{- x}\]
\[x = - x\]
\[x = 0.\]
\[Положительна\ при:\]
\[2^{x} - 2^{- x} > 0\]
\[2^{x} > 2^{- x}\]
\[x > 0.\]
\[Отрицательна\ при:\]
\[2^{x} - 2^{- x} < 0\]
\[2^{x} < 2^{- x}\]
\[x < 0.\]
\[2)\ f(x) = 3^{2x} - 2x \bullet \ln 3\]
\[f^{'}(x) = \left( 3^{2x} \right)^{'} - \ln 3 \bullet (2x)^{'} =\]
\[= 2 \bullet 3^{2x} \bullet \ln 3 - \ln 3 \bullet 2 =\]
\[= 2 \bullet \ln 3 \bullet \left( 3^{2x} - 1 \right)\]
\[Равна\ нулю\ при:\]
\[3^{2x} - 1 = 0\]
\[3^{2x} = 1\]
\[3^{2x} = 3^{0}\]
\[2x = 0\]
\[x = 0.\]
\[Положительна\ при:\]
\[3^{2x} - 1 > 0\]
\[3^{2x} > 1\]
\[3^{2x} > 3^{0}\]
\[x > 0.\]
\[Отрицательна\ при:\]
\[3^{2x} - 1 < 0\]
\[3^{2x} < 1\]
\[3^{2x} < 3^{0}\]
\[x < 0.\]
\[3)\ f(x) = x + \ln{2x}\]
\[f^{'}(x) = (x)^{'} + \left( \ln{2x} \right)^{'} =\]
\[= 1 + \frac{2}{2x} = 1 + \frac{1}{x}\]
\[Имеет\ смысл\ при:\]
\[2x > 0\]
\[x > 0.\]
\[Равна\ нулю\ при:\]
\[1 + \frac{1}{x} = 0\]
\[x + 1 = 0\]
\[нет\ корней.\]
\[Положительна\ при:\]
\[1 + \frac{1}{x} > 0\]
\[x^{2} + x > 0\]
\[(x + 1) \bullet x > 0\]
\[x > 0.\]
\[Отрицательна\ при:\]
\[1 + \frac{1}{x} < 0\]
\[x^{2} + x < 0\]
\[(x + 1) \bullet x < 0\]
\[- 1 < x < 0\]
\[нет\ корней.\]
\[4)\ f(x) = x + \ln(2x + 1)\]
\[f^{'}(x) = (x)^{'} + \left( \ln(2x + 1) \right)^{'} =\]
\[= 1 + \frac{2}{2x + 1}\]
\[Имеет\ смысл\ при:\]
\[2x + 1 > 0\]
\[x > - \frac{1}{2}.\]
\[Равна\ нулю\ при:\]
\[1 + \frac{2}{2x + 1} = 0\]
\[2x + 1 + 2 = 0\]
\[2x + 3 = 0\]
\[нет\ корней.\]
\[Положительна\ при:\]
\[2x + 3 > 0\]
\[x > - \frac{3}{2}\]
\[x > - \frac{1}{2}.\]
\[Отрицательна\ при:\]
\[2x + 3 < 0\]
\[x < - \frac{3}{2}\]
\[нет\ корней.\]
\[5)\ f(x) = 6x - x\sqrt{x}\]
\[f^{'}(x) = (6x)^{'} - \left( x^{\frac{3}{2}} \right)^{'} =\]
\[= 6 - \frac{3}{2} \bullet x^{\frac{1}{2}} = 6 - \frac{3\sqrt{x}}{2}\]
\[Имеет\ смысл\ при:\]
\[x \geq 0.\]
\[Равна\ нулю\ при:\]
\[6 - \frac{3\sqrt{x}}{2} = 0\]
\[12 - 3\sqrt{x} = 0\]
\[4 - \sqrt{x} = 0\]
\[\sqrt{x} = 4\]
\[x = 16.\]
\[Положительна\ при:\]
\[4 - \sqrt{x} > 0\]
\[\sqrt{x} < 4\]
\[x < 16.\]
\[Отрицательна\ при:\]
\[4 - \sqrt{x} < 0\]
\[\sqrt{x} > 4\]
\[x > 16.\]
\[6)\ f(x) = (x + 1) \bullet \sqrt{x + 1} - 3x\]
\[f^{'}(x) = {(x + 1)^{\frac{3}{2}}}^{'} - (3x)^{'} =\]
\[= \frac{3}{2} \bullet (x + 1)^{\frac{1}{2}} - 3 =\]
\[= 3 \bullet \left( \frac{\sqrt{x + 1}}{2} - 1 \right)\]
\[Имеет\ смысл\ при:\]
\[x + 1 \geq 0\ \]
\[x \geq - 1.\]
\[Равна\ нулю\ при:\]
\[\frac{\sqrt{x + 1}}{2} - 1 = 0\]
\[\sqrt{x + 1} - 2 = 0\]
\[x + 1 = 4\]
\[x = 3.\]
\[Положительна\ при:\]
\[\sqrt{x + 1} - 2 > 0\]
\[x + 1 > 4\]
\[x > 3.\]
\[Отрицательна\ при:\]
\[\sqrt{x + 1} - 2 < 0\]
\[x + 1 < 4\]
\[x < 3.\]
