Решебник по алгебре и начала математического анализа 11 класс Алимов Задание 1537

\[\boxed{\mathbf{1537}\mathbf{.}}\]

\[1)\ y = \frac{1}{3}x^{3} - x^{2} - 3x + 9\]

\[Ни\ четная,\ ни\ нечетная:\]

\[f( - x) =\]

\[= \frac{1}{3}( - x)^{3} - ( - x)^{2} - 3( - x) + 9 =\]

\[= - \frac{1}{3}x^{3} - x^{2} + 3x + 9.\]

\[f^{'}(x) = \frac{1}{3}\left( x^{3} \right)^{'} - \left( x^{2} \right)^{'} - (3x - 9)^{'} =\]

\[= \frac{1}{3} \bullet 3x^{2} - 2x - 3 = x^{2} - 2x - 3.\]

\[Промежуток\ возрастания:\]

\[x^{2} - 2x - 3 > 0\]

\[D = 4 + 12 = 16\]

\[x_{1} = \frac{2 - 4}{2} = - 1;\]

\[x_{2} = \frac{2 + 4}{2} = 3;\]

\[(x + 1)(x - 3) > 0\]

\[x < - 1\ \ и\ \ x > 3.\]

\[Промежуток\ убывания:\]

\[- 1 < x < 3.\]

\[x = - 1 - точка\ максимума;\]

\[x = 3 - точка\ минимума.\]

\[Максимум\ и\ минимум:\]

\[y( - 1) = \frac{1}{3} \bullet ( - 1)^{3} - ( - 1)^{2} + 3 + 9 =\]

\[= - \frac{1}{3} - 1 + 12 = 11 - \frac{1}{3} = 10\frac{2}{3};\]

\[y(3) = \frac{1}{3} \bullet 3^{3} - 3^{2} - 3 \bullet 3 + 9 =\]

\[= 9 - 9 - 9 + 9 = 0.\]

\[2)\ y = - x^{4} + 6x^{2} - 9\]

\[Функция\ четная:\]

\[f( - x) = - ( - x)^{4} + 6\left( x^{2} \right) - 9 =\]

\[= - x^{4} + 6x^{2} - 9 = f(x).\]

\[f^{'}(x) = - \left( x^{4} \right)^{'} + 6\left( x^{2} \right)^{'} - (9)^{'} =\]

\[= - 4x^{3} + 6 \bullet 2x - 0 = 12x - 4x^{3}.\]

\[Промежуток\ возрастания:\]

\[12x - 4x^{2} > 0\]

\[3x - x^{2} > 0\]

\[x\left( 3 - x^{2} \right) > 0\]

\[x\left( x^{2} - 3 \right) < 0\]

\[\left( x + \sqrt{3} \right) \bullet x \bullet \left( x - \sqrt{3} \right) < 0\]

\[x < - \sqrt{3}\text{\ \ }и\ \ 0 < x < \sqrt{3}.\]

\[Промежуток\ убывания:\]

\[- \sqrt{3} < x < 0\ \ и\ \ x > \sqrt{3}.\]

\[x = \pm \sqrt{3} - точки\ максимума;\]

\[x = 0 - точка\ минимума.\]

\[Максимум\ и\ минимум:\]

\[y\left( \pm \sqrt{3} \right) =\]

\[= - \left( \pm \sqrt{3} \right)^{4} + 6 \bullet \left( \pm \sqrt{3} \right)^{2} - 9 =\]

\[= - 9 + 18 - 9 = 0;\]

\[y(0) = - 0^{4} + 6 \bullet 0^{2} - 9 = - 9.\]