Решебник по алгебре и начала математического анализа 11 класс Алимов Задание 1264

\[\boxed{\mathbf{1264}\mathbf{.}}\]

\[0 < a < b.\]

\[1)\ \frac{a + b}{2} - середина\ \]

\[отрезка\ \lbrack a;\ b\rbrack.\]

\[\left\lbrack a;\ \frac{a + b}{2} \right\rbrack:\]

\[l_{1} = \left| \frac{a + b}{2} - a \right| =\]

\[= \left| \frac{a + b - 2a}{2} \right| = \left| \frac{b - a}{2} \right|.\]

\[\left\lbrack \frac{a + b}{2};\ b \right\rbrack:\]

\[l_{2} = \left| b - \frac{a + b}{2} \right| =\]

\[= \left| \frac{2b - a - b}{2} \right| = \left| \frac{b - a}{2} \right|.\]

\[Значит,\ \frac{a + b}{2}\ делит\ отрезок\ \]

\[\lbrack a;\ b\rbrack\ на\ два\ отрезка,\]

\[имеющих\ равную\ длину.\]

\[Следовательно,\ является\ его\ \]

\[серединой.\]

\[Что\ и\ требовалось\ доказать\text{.\ }\]

\[2)\ \frac{a + bc}{1 + c}\ (c > 0)\ лежит\ внутри\ \]

\[отрезка\ \lbrack a;\ b\rbrack.\]

\[Сравним\ \frac{a + bc}{1 + c}\ и\ a:\]

\[\frac{a + bc}{1 + c} - a = \frac{a + bc - a(1 + c)}{1 + c} =\]

\[= \frac{a + bc - a - ac}{1 + c} =\]

\[= \frac{c(b - a)}{1 + c} > 0.\]

\[Сравним\ \frac{a + bc}{1 + c}\ и\ b:\]

\[b - \frac{a + bc}{1 + c} =\]

\[= \frac{b(1 + c) - (a + bc)}{1 + c} =\]

\[= \frac{b + bc - a - bc}{1 + c} = \frac{b - a}{1 + c} > 0.\]

\[Значит,\ \frac{a + bc}{1 + c}\ больше\ числа\ \text{a\ }\]

\[и\ меньше\ числа\ \text{b.}\]

\[Следовательно,\ это\ число\ \]

\[лежит\ внутри\ отрезка\ \lbrack a;\ b\rbrack.\]

\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]