Решебник по алгебре и начала математического анализа 10 класс Алимов Задание 313

$$\boxed{{\displaystyle \mathbf{313}\mathbf{.}}}$$

$${\log }_{a^p}b=\frac{1}{p}{\log }_{a}b$$

$$1){\log }_2^{2}x-9{\log }_{8}x=4$$

$${\log }_2^{2}x-9{\log }_{2^3}x-4=0$$

$${\log }_2^{2}x-3{\log }_{2}x-4=0$$

$$Пустьy={\log }_{2}x:$$

$$y^2-3y-4=0$$

$$D=3^2+4\bullet 4=9+16=25$$

$$y_1=\frac{3-5}{2}=-1;\text{ }$$

$$y_2=\frac{3+5}{2}=4.$$

$$1){\log }_{2}x=-1$$

$${\log }_{2}x={\log }_2{2}^{-1}$$

$$x=2^{-1}=\frac{1}{2}=0,5.$$

$$2){\log }_{2}x=4$$

$${\log }_{2}x={\log }_2{2}^4$$

$$x=2^4=16.$$

$$Ответ:x_1=0,5;x_2=16.$$

$$2)16{\log }_{16}^{2}x+3{\log }_{4}x-1=0$$

$$16{\log }_{4^2}^{2}x+3{\log }_{4}x-1=0$$

$$4{\log }_4^{2}x+3{\log }_{4}x-1=0$$

$$Пустьy={\log }_{4}x:$$

$$4y^2+3y-1=0$$

$$D=3^2+4\bullet 4=9+16=25$$

$$y_1=\frac{-3-5}{2\bullet 4}=-\frac{8}{8}=-1;$$

$$y_2=\frac{-3+5}{2\bullet 4}=\frac{2}{8}=\frac{1}{4}.$$

$$1){\log }_{4}x=-1$$

$${\log }_{4}x={\log }_4{4}^{-1}$$

$$x=4^{-1}=\frac{1}{4}=0,25.$$

$$2){\log }_{4}x=\frac{1}{4}$$

$${\log }_{4}x=4^{\frac{1}{4}}$$

$$x=4^{\frac{1}{4}}=2^{\frac{1}{2}}=\sqrt{2}.$$

$$Ответ:x_1=0,25;x_2=\sqrt{2}.$$

$$3){\log }_3^{2}x+5{\log }_{9}x-1,5=0$$

$${\log }_3^{2}x+5{\log }_{3^2}x-1,5=0$$

$${\log }_3^{2}x+\frac{5}{2}{\log }_{3}x-1,5=0$$

$$Пустьy={\log }_{3}x:$$

$$y^2+\frac{5}{2}y-1,5=0$$

$$2y^2+5y-3=0$$

$$D=5^2+4\bullet 2\bullet 3=$$

$$=25+24=49$$

$$y_1=\frac{-5-7}{2\bullet 2}=-\frac{12}{4}=-3;$$

$$y_2=\frac{-5+7}{2\bullet 2}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}.$$

$$1){\log }_{3}x=-3$$

$${\log }_{3}x={\log }_3{3}^{-3}$$

$$x=3^{-3}=\frac{1}{3^3}=\frac{1}{27}.$$

$$2){\log }_{3}x=\frac{1}{2}$$

$${\log }_{3}x={\log }_3{3}^{\frac{1}{2}}$$

$$x=3^{\frac{1}{2}}=\sqrt{3}.$$

$$Ответ:x_1=\frac{1}{27};x_2=\sqrt{3}.$$

$$4){\log }_3^{2}x-15{\log }_{27}x+6=0$$

$${\log }_3^{2}x-15{\log }_{3^3}x+6=0$$

$${\log }_3^{2}x-5{\log }_{3}x+6=0$$

$$Пустьy={\log }_{3}x:$$

$$y^2-5y+6=0$$

$$D=5^2-4\bullet 6=25-24=1$$

$$y_1=\frac{5-1}{2}=2;\text{ }{y}_2=\frac{5+1}{2}=3.$$

$$1){\log }_{3}x=2$$

$${\log }_{3}x={\log }_3{3}^2$$

$$x=3^2=9.$$

$$2){\log }_{3}x=3$$

$${\log }_{3}x={\log }_3{3}^3$$

$$x=3^3=27.$$

$$Ответ:x_1=9;x_2=27.$$