Решебник по алгебре и начала математического анализа 10 класс Алимов Задание 289

\[\boxed{\mathbf{289}\mathbf{.}}\]

\[9^{x} + 9a(1 - a) \bullet 3^{x - 2} - a^{3} = 0\]

\[3^{2x} + 9a(1 - a) \bullet \frac{3^{x}}{9} - a^{3} = 0\]

\[3^{2x} + \left( a - a^{2} \right) \bullet 3^{x} - a^{3} = 0\]

\[Пусть\ y = 3^{x}:\]

\[y^{2} + \left( a - a^{2} \right) \bullet y - a^{3} = 0\]

\[D = \left( a - a^{2} \right)^{2} + 4 \bullet a^{3}\]

\[D = a^{2} - 2a^{3} + a^{4} + 4a^{3} =\]

\[= a^{2} + 2a^{3} + a^{4} = \left( a + a^{2} \right)^{2}\]

\[y = \frac{- \left( a - a^{2} \right) \pm \sqrt{\left( a + a^{2} \right)^{2}}}{2} =\]

\[= \frac{a^{2} - a \pm \left| a + a^{2} \right|}{2}\]

\[y_{1} = \frac{a^{2} - a - \left( a + a^{2} \right)}{2} =\]

\[= \frac{a^{2} - a - a - a^{2}}{2} = - \frac{2a}{2} = - a;\]

\[y_{2} = \frac{a^{2} - a + \left( a + a^{2} \right)}{2} =\]

\[= \frac{a^{2} - a + a + a^{2}}{2} = \frac{2a^{2}}{2} = a^{2}.\]

\[1)\ 3^{x} = - a\]

\[\log_{3}3^{x} = \log_{3}( - a)\]

\[x = \log_{3}( - a)\]

\[Выражение\ имеет\ смысл\ при:\]

\[- a > 0\]

\[a < 0.\]

\[2)\ 3^{x} = a^{2}\]

\[\log_{3}3^{x} = \log_{3}a^{2}\]

\[x = \log_{3}a^{2}\]

\[Выражение\ имеет\ смысл\ при:\]

\[a^{2} > 0\ \]

\[a \neq 0.\]

\[Значения\ совпадают\ при:\]

\[- a = a^{2}\]

\[a^{2} + a = 0\]

\[(a + 1)a = 0\]

\[a_{1} = - 1\ \ и\ \ a_{2} = 0\]

\[Ответ:\ \ если\ a < 0\ и\ a \neq - 1,\ \]

\[то\ \ x_{1} = \log_{3}a^{2},\ \ \ \]

\[x_{2} = \log_{3}( - a);\]

\[если\ a > 0\ и\ a = - 1,\ \]

\[то\ x = \log_{3}a^{2}.\]