Решебник по алгебре и начала математического анализа 10 класс Алимов Задание 1519

\[\boxed{\mathbf{1519}\mathbf{.}}\]

\[x - абсцисса\ одной\ из\ \]

\[симметричных\ вершин;\]

\[( - x) - абсцисса\ второй\ \]

\[вершины\ треугольника;\]

\[y( \pm x) = 4( \pm x)^{2} = 4x^{2} -\]

\[ординаты\ вершин;\]

\[AB = x - ( - x) = 2x - длина\ \]

\[основания.\]

\[K(3;\ 6) - середина\ одной\ из\ \]

\[сторон\ \text{AC\ }или\ \text{BC};\]

\[\text{C\ }имеет\ ординату,\ равную\ y_{c}:\]

\[6 = \frac{4x^{2} + y_{c}}{2}\]

\[12 = 4x^{2} + y_{c}\]

\[y_{c} = 12 - 4x^{2}\]

\[h = \left( 12 - 4x^{2} \right) - 4x^{2} =\]

\[= 12 - 8x^{2} - высота\ \mathrm{\Delta}.\]

\[S(x) = \frac{1}{2}h \bullet AB =\]

\[= \frac{1}{2} \bullet \left( 12 - 8x^{2} \right) \bullet 2x =\]

\[= 12x - 8x^{3};\]

\[S^{'}(x) = (12x)^{'} - 8\left( x^{3} \right)^{'} =\]

\[= 12 - 8 \bullet 3x^{2} = 12 - 24x^{2}.\]

\[Промежуток\ возрастания:\]

\[12 - 24x^{2} > 0\]

\[1 - 2x^{2} > 0\]

\[2x^{2} < 1\]

\[x^{2} < \frac{1}{2}\]

\[- \frac{1}{\sqrt{2}} < x < \frac{1}{\sqrt{2}}.\]

\[x = \frac{1}{\sqrt{2}} - точка\ максимума;\]

\[S\left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right) = 12 \bullet \frac{1}{\sqrt{2}} - 8 \bullet \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right)^{3} =\]

\[= \frac{12\sqrt{2}}{2} - \frac{8}{2\sqrt{2}} =\]

\[= 6\sqrt{2} - 2\sqrt{2} = 4\sqrt{2}.\]

\[Ответ:\ \ 4\sqrt{2}.\]