Решебник по алгебре и начала математического анализа 10 класс Колягин Задание 863

\[\boxed{\mathbf{863}.}\]

\[\frac{\lg x}{\lg\left( x - a - a^{2} \right)} = 2\ \ \ \ \ \]

\[ОДЗ:\]

\[x > 0;\ \ x > a + a^{2}.\]

\[\lg x = 2\lg{(x - a - a^{2})}\text{\ \ \ }\]

\[\lg x = \lg\left( x - a - a^{2} \right)^{2}\]

\[x = \left( x - a - a^{2} \right)^{2}\]

\[x^{2} + \left( - 2a^{2} - 2a - 1 \right)x + a^{4} +\]

\[+ 2a^{3} + a^{2} = 0\]

\[D = \left( - 2a^{2} - 2a - 1 \right)^{2} -\]

\[- 4 \cdot \left( a^{4} + 2a^{3} + a^{2} \right) = 4a^{2} +\]

\[+ 4a + 1 = (2a + 1)^{2}\]

\[1)\ a = - \frac{1}{2} \rightarrow x = \frac{1}{4};\ \]

\[2)\ a \neq - \frac{1}{2}:\]

\[x_{1} = a^{2};\ \ x_{2} = a^{2} + 2a +\]

\[+ 1 = (x + 1)^{2};\]

\[3)\ a + a^{2} = 0\ (a = 0):\]

\[\frac{\lg x}{\lg x} = 2\]

\[1 = 2\]

\[уравнение\ не\ имеет\ корней.\]

\[4)\ a^{2} + a < 0:\]

\[- 1 < a < 0\]

\[x_{1} = a^{2};\ \ x_{2} = (a + 1)^{2}.\]

\[5)\ a^{2} + a > 0:\]

\[a > 0 \rightarrow a^{2} > a^{2} + a;\]

\[a < - 1 \rightarrow (a + 1)^{2} < a^{2} + a.\]

\[При\ a < - 1 \rightarrow x = a^{2};\]

\[при\ a > 0 \rightarrow x = (a + 1)^{2}.\]

\[6)\ при\ a = 1 \rightarrow нет\ корней.\]

\[Ответ:уравнение\ имеет\ хотя\ \]

\[бы\ один\ корень\ при\ a < - 1;\ \]

\[при\ a = - \frac{1}{2};\]

\[при - 1 < a < 0\ \left( a \neq - \frac{1}{2} \right)\text{.\ }\]