Решебник по алгебре и начала математического анализа 10 класс Колягин Задание 700

\[\boxed{\mathbf{700}.}\]

\[(k - 1) \cdot 4^{x} - 4 \cdot 2^{x} +\]

\[+ (k + 2) = 0\]

\[(k - 1) \cdot 2^{2x} - 4 \cdot 2^{x} +\]

+\((k + 2) = 0\)

\[Пусть\ 2^{x} = t > 0:\]

\[(k - 1)t^{2} - 4t + (k + 2) = 0\]

\[Уравнение\ имеет\ хотя\ бы\ \]

\[один\ корень\ при\ D \geq 0.\]

\[D = 16 - 4 \cdot (k - 1)(k + 2) =\]

\[= 16 - 4 \cdot \left( k^{2} - k + 2k - 2 \right) =\]

\[= 16 - 4k^{2} - 4k + 8 = - 4k^{2} -\]

\[- 4k + 24 \geq 0\ \ \ \ |\ :( - 4)\]

\[k^{2} + k - 6 \leq 0\]

\[k_{1} + k_{2} = - 1;\ \ k_{1} \cdot k_{2} = - 6\]

\[k_{1} = - 3;\ \ \ k_{2} = 2.\]

\[(k + 3)(k - 2) \leq 0\]

\[- 3 \leq k \leq 2.\]

\[Еще\ необходимо,\ чтобы\]

\[\ выполнялось\ условие,\ t > 0.\]

\[\left\{ \begin{matrix} \frac{4 + \sqrt{- 4k^{2} - 424}}{2 \cdot (k - 1)} > 0 \\ \frac{4 - \sqrt{- 4k^{2} - 424}}{2 \cdot (k - 1)} > 0 \\ \end{matrix} \right.\ \]

\[1)\ k - 1 > 0;\ \ k > 1:\]

\[\left\{ \begin{matrix} 2 + \sqrt{- k^{2} - k + 6} > 0 \\ 2 - \sqrt{- k^{2} - k + 6} > 0 \\ \end{matrix} \right.\ \text{\ \ \ \ \ \ }\]

\[\ \left\{ \begin{matrix} \sqrt{- k^{2} - k + 6} > - 2 \\ \sqrt{- k^{2} - k + 6} < 2\ \ \ \\ \end{matrix} \right.\ \]

\[Первое\ неравенство\ верно\]

\[\ при\ любых\ k.\]

\[\sqrt{- k^{2} - k + 6} < 2:\]

\[\left\{ \begin{matrix} - k^{2} - k + 6 \geq 0 \\ - k^{2} - k + 6 < 4 \\ \end{matrix} \right.\ \]

\[- k^{2} - k + 2 < 0\]

\[k^{2} + k - 2 > 0\]

\[(k + 2)(k - 1) > 0;\ \ \ k > 1\]

\[1 < k \leq 2.\]

\[2)\ k - 1 < 0;\ \ k < 1:\]

\[\left\{ \begin{matrix} 2 + \sqrt{- k^{2} - k + 6} < 0 \\ 2 - \sqrt{- k^{2} - k + 6} < 0 \\ \end{matrix} \right.\ \]

\[Первое\ уравнение\ не\ имеет\ \]

\[решений.\]

\[\sqrt{- k^{2} - k + 6} > 2\]

\[- k^{2} - k + 6 > 4\]

\[k^{2} + k - 2 < 0\]

\[(k - 1)(k + 2) < 0\]

\[- 2 < k < 1.\]

\[3)\ k = 1:\]

\[(1 - 1)t^{2} - 4t + (1 + 2) = 0\]

\[- 4t + 3 = 0\]

\[t = \frac{3}{4}.\]

\[Ответ:\ - 2 < k \leq 2.\]