Решебник по алгебре и начала математического анализа 10 класс Колягин Задание 541

\[\boxed{\mathbf{541}.}\]

\[1)\ a > 0;\ \ a^{2} \geq b > 0:\]

\[\left( \sqrt{a + \sqrt{b}} \right)^{2} =\]

\[= \left( \sqrt{\frac{a + \sqrt{a^{2} - b}}{2}} + \sqrt{\frac{a - \sqrt{a^{2} - b}}{2}} \right)^{2}\]

\[a + \sqrt{b} = \frac{a + \sqrt{a^{2} - b}}{2} +\]

\[+ 2\sqrt{\left( \frac{a + \sqrt{a^{2} - b}}{2} \right)\left( \frac{a - \sqrt{a^{2} - b}}{2} \right)} -\]

\[- \frac{a - \sqrt{a^{2} - b}}{2} =\]

\[= \frac{a + \sqrt{a^{2} - b} + a - \sqrt{a^{2} - b}}{2} +\]

\[+ 2\sqrt{\frac{\left( a^{2} - a^{2} + b \right)}{4}} = \frac{2a}{2} +\]

\[+ \frac{2}{2}\sqrt{b} = \sqrt{a} + \sqrt{b}.\]

\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]

\[2)\ a > 0;\ \ a^{2} \geq b > 0:\]

\[\left( \sqrt{a - \sqrt{b}} \right)^{2} =\]

\[= \left( \sqrt{\frac{a + \sqrt{a^{2} - b}}{2}} - \sqrt{\frac{a - \sqrt{a^{2} - b}}{2}} \right)^{2}\ \]

\[a - \sqrt{b} = \frac{a + \sqrt{a^{2} - b}}{2} -\]

\[- 2\sqrt{\left( \frac{a + \sqrt{a^{2} - b}}{2} \right)\left( \frac{a - \sqrt{a^{2} - b}}{2} \right)} -\]

\[- \frac{a - \sqrt{a^{2} - b}}{2} =\]

\[= \frac{a + \sqrt{a^{2} - b} + a - \sqrt{a^{2} - b}}{2} -\]

\[- 2\sqrt{\frac{\left( a^{2} - a^{2} + b \right)}{4}} =\]

\[= \frac{2a}{2} - \frac{2}{2}\sqrt{b} = \sqrt{a} - \sqrt{b}.\]

\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]