Решебник по алгебре и начала математического анализа 10 класс Колягин Задание 502

\[\boxed{\mathbf{502}.}\]

\[x = \sqrt[3]{4\sqrt{5} + 4} - \sqrt[3]{4\sqrt{5} - 4\ }\]

\[Пусть\ \ \ a = \sqrt[3]{4\sqrt{5} + 4};\ \]

\[\ \ b = \sqrt[3]{4\sqrt{5} - 4}.\]

\[Получаем:\]

\[a \cdot b = \sqrt[3]{\left( 4\sqrt{5} + 4 \right)\left( 4\sqrt{5} - 4 \right)} =\]

\[= \sqrt[3]{16 \cdot 5 - 16} = \sqrt[3]{64} = 4.\]

\[a^{3} - b^{3} = 4\sqrt{5} + 4 -\]

\[- 4\sqrt{5} + 4 = 8.\]

\[x^{2} = (a - b)^{2} = a^{2} -\]

\[- 2ab + b^{2} = a^{2} + b^{2} - 8\]

\[a^{2} + b^{2} = x^{2} + 8.\]

\[a^{3} - b^{3} =\]

\[= (a - b)\left( a^{2} + ab + b^{2} \right) =\]

\[= x\left( x^{2} + 8 + 4 \right) = x^{3} + 12x\]

\[x^{3} + 12x = - 8.\]

\[Ответ:\ - 8.\]