Решебник по алгебре и начала математического анализа 10 класс Колягин Задание 424

\[\boxed{\mathbf{424}.}\]

\[1)\ 0,(5) = 0,555555\ldots = 0,5 +\]

\[+ 0,05 + 0,005 + \ldots;\]

\[Имеем\ бесконечно\ \]

\[убывающую\ геометрическую\]

\[\ прогрессию:\]

\[b_{1} = 0,5\ \ и\ \ b_{2} = 0,05;\]

\[q = \frac{b_{2}}{b_{1}} = \frac{0,05}{0,5} = \frac{5}{50} = 0,1;\]

\[S = \frac{b_{1}}{1 - q} = \frac{0,5}{1 - 0,1} = \frac{0,5}{0,9} = \frac{5}{9};\]

\[Ответ:\ \ \frac{5}{9}.\]

\[2)\ 0,(8) = 0,888888\ldots = 0,8 +\]

\[+ 0,08 + 0,008 + \ldots;\]

\[Имеем\ бесконечно\ \]

\[убывающую\ геометрическую\ \]

\[прогрессию:\]

\[b_{1} = 0,8\ \ и\ \ b_{2} = 0,08;\]

\[q = \frac{b_{2}}{b_{1}} = \frac{0,08}{0,8} = \frac{8}{80} = 0,1;\]

\[S = \frac{b_{1}}{1 - q} = \frac{0,8}{1 - 0,1} = \frac{0,8}{0,9} = \frac{8}{9};\]

\[3)\ 0,(32) = 0,323232\ldots =\]

\[= 0,32 + 0,0032 +\]

\[+ 0,000032 + \ldots;\]

\[Имеем\ бесконечно\ \]

\[убывающую\ геометрическую\]

\[\ прогрессию:\]

\[b_{1} = 0,32\ \ и\ \ b_{2} = 0,0032;\]

\[q = \frac{b_{2}}{b_{1}} = \frac{0,0032}{0,32} = \frac{32}{3200} = 0,01;\]

\[S = \frac{b_{1}}{1 - q} = \frac{0,32}{1 - 0,01} =\]

\[= \frac{0,32}{0,99} = \frac{32}{99}.\]

\[Имеем\ бесконечно\]

\[\ убывающую\ геометрическую\ \]

\[прогрессию:\]

\[b_{1} = 0,05\ \ и\ \ b_{2} = 0,005;\]

\[q = \frac{b_{2}}{b_{1}} = \frac{0,005}{0,05} = \frac{5}{50} = 0,1;\]

\[S = 0,2 + \frac{b_{1}}{1 - q} = \frac{1}{5} + \frac{0,05}{1 - 0,1} =\]

\[= \frac{1}{5} + \frac{0,05}{0,9} = \frac{18}{90} + \frac{5}{90} = \frac{23}{90}.\]