Решебник по алгебре и начала математического анализа 10 класс Колягин Задание 351

\[\boxed{\mathbf{351}.}\]

\[1)\ \left( \sqrt{3} + \ \sqrt[4]{5} \right)^{124}\]

\[C_{124}^{k} \cdot \left( \sqrt{3} \right)^{k} \cdot \left( \sqrt[4]{5} \right)^{124 - k} =\]

\[= C_{124}^{k} \cdot 3^{\frac{k}{2}} \cdot 5^{31 - \frac{k}{4}};\]

\[\frac{k}{2}\ и\ \ 31 - \frac{k}{4}\ \ должны\ быть\ \]

\[целыми;\]

\[k = 4n:\]

\[0 \leq k \leq 124\]

\[0 \leq n \leq 31.\]

\[Получаем\ 32\ рациональных\]

\[\ члена.\]

\[Ответ:32.\]

\[2)\ \left( \sqrt{2} + \sqrt[4]{3} \right)^{100}\]

\[C_{100}^{k} \cdot \left( \sqrt{2} \right)^{k} \cdot \left( \sqrt[4]{3} \right)^{100 - k} =\]

\[= C_{100}^{k} \cdot 2^{\frac{k}{2}} \cdot 3^{25 - \frac{k}{4}};\]

\[\frac{k}{2}\ и\ 25 - \frac{k}{4}\ должны\ быть\ \]

\[целыми;\]

\[k = 4n:\]

\[0 \leq k \leq 100\]

\[0 \leq 4n \leq 100\]

\[0 \leq n \leq 25.\]

\[Получаем\ 26\ рациональных\ \]

\[членов.\]

\[Ответ:26.\]