Решебник по алгебре и начала математического анализа 10 класс Колягин Задание 277

\[{\boxed{\mathbf{277}.} }{1)\ 13x^{2} + 1 = 3y^{2}}\]

\[Пусть\ \left( 13x^{2} + 1 \right)\ не\ кратно\ 3,\]

\[\ тогда\ x - не\ кратно\ 3.\]

\[Получаем:\]

\[x = 3n + 1\ \ или\ \ x = 3n + 2;\ \]

\[\ n \in Z.\]

\[13x^{2} + 1 = 13 \cdot (3n + 1)^{2} + 1 =\]

\[= 13 \cdot \left( 9n^{2} + 6n + 1 \right) + 1 =\]

\[= 13 \cdot 9n^{2} + 13 \cdot 6n + 13 + 1 =\]

\[= 117n^{2} + 78n +\]

\[+ 14 \equiv 2(mod\ 3).\]

\[13x^{2} + 1 = 13 \cdot (3n + 2)^{2} + 1 =\]

\[= 13 \cdot \left( 9n^{2} + 12n + 4 \right) + 1 =\]

\[= 117n^{2} + 156n +\]

\[+ 53 \equiv 2(mod\ 3).\]

\[Уранение\ не\ имеет\]

\[\ целых\ корней.\]

\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]

\[2)\ 9x^{2} = y^{2} + 74;\ \ x \geq 0;\ \ y \geq 0.\]

\[9x^{2} - y^{2} = 74\]

\[\textbf{а)}\ Пусть\ x;y - четные\ числа;\]

\[x = 2n;\ \ y = 2k:\]

\[9 \cdot 4n^{2} - 4k^{2} = 74\ \ |\ :2\]

\[\underset{четное}{\overset{18n^{2} - 2k^{2}}{︸}} = \underset{нечетное}{\overset{37}{︸}}\ \]

\[x;y\ \notin Z.\]

\[\textbf{б)}\ Пусть\ x;y - нечетные\ числа;\]

\[x = 2n + 1;\ \ y = 2k + 1:\]

\[9 \cdot (2n + 1)^{2} - (2k + 1)^{2} = 74\]

\[9 \cdot \left( 4n^{2} + 4n + 1 \right) -\]

\[- \left( 4k^{2} + 4k + 1 \right) = 74\]

\[36n^{2} + 36n + 9 - 4k^{2} -\]

\[- 4k - 1 = 74\]

\[36n^{2} + 36n - 4k^{2} - 4k =\]

\[= 66\ \ \ |\ :2\]

\[\underset{четное}{\overset{18n^{2} + 18n - 2k^{2} - 2k}{︸}} =\]

\[= \underset{нечетное}{\overset{33}{︸}}\]

\[x;y\ \notin Z.\]

\[\textbf{в)}\ Пусть\ x - нечетное;\ \]

\[\ y - четное;\]

\[x = 2n + 1;\ \ y = 2k:\]

\[9 \cdot (2n + 1)^{2} - 2k = 74\]

\[36n^{2} + 36n + 9 - 2k = 74\]

\[\underset{четное}{\overset{36n^{2} + 36n - 2k}{︸}} = \underset{нечетное}{\overset{65}{︸}}\]

\[x;y\ \notin Z.\]

\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]