Решебник по алгебре и начала математического анализа 10 класс Колягин Задание 260

\[\boxed{\mathbf{260}.}\]

\[1)\ 91^{40} - 55^{35}\]

\[91\ :18 = 5\ (ост.\ 1) \rightarrow 91^{40}\ :\]

\[:18 = a\ (ост.\ 1);\]

\[55\ :18 = 3\ (ост.\ 1) \rightarrow 55^{35}\ :\]

\[:18 = b\ (ост.\ 1).\]

\[Если\ целые\ числа\ при\ делении\ \]

\[на\ натуральное\ число\ \]

\[дают\ равные\]

\[остатки,\ то\ разность\ этих\]

\[\ чисел\ кратна\ данному\ числу.\]

\[91^{40} - 55^{35}\ \vdots 18.\]

\[2)\ 84^{20} + 101^{19}\]

\[84^{20} \equiv 16\ (mod\ 17);\]

\[101^{19} \equiv 16\ (mod\ 17):\]

\[84^{20} + 101^{19} \equiv 16^{20} +\]

\[+ 16^{19}(mod\ 17) \equiv 16^{19} \cdot\]

\[\cdot (16 + 1)\ (mod\ 17) \equiv\]

\[\equiv 16^{19} \cdot 17\ (mod\ 17) = 0.\]

\[84^{20} + 101^{19}\ \vdots 17.\]

\[3)\ (75 \cdot 39)^{10} + (94 \cdot 58)^{15} =\]

\[= 2925^{10} + 5452^{15}\]

\[2925 \equiv - 1\ (mod\ 19);\ \ \]

\[5452^{15} \equiv - 1\ (mod\ 19);\]

\[( - 1)^{10} + ( - 1)^{15} = - 1 + 1 = 0.\]

\[(75 \cdot 39)^{10} + (94 \cdot 58)^{15}\ \vdots 19.\]

\[4)\ 10^{327} + 56\]

\[10 \equiv - 1\ (mod\ 11);\ \]

\[\ 56 \equiv 1\ (mod\ 11);\]

\[( - 1)^{327} + 1 = - 1 + 1 = 0.\]

\[10^{327} + 56\ \vdots 11.\]

\[5)\ 4^{15} + 233\]

\[4 \equiv 1\ (mod\ 3);\ \ \]

\[233 \equiv - 1\ (mod\ 3);\]

\[1^{15} - 1 = 1 - 1 = 0;\]

\[4^{15} + 233\ \vdots 3.\]