Решебник по алгебре и начала математического анализа 10 класс Колягин Задание 249

\[\boxed{\mathbf{249}.}\]

\[\left( m^{2} + n^{2} \right)\ \vdots 3;\ \ m,\ n \in N.\]

\[Доказательство\ от\]

\[\ противного.\]

\[Пусть\ m\ не\ кратно\ 3\ и\ \text{n\ }не\ \]

\[кратно\ 3.\]

\[1)\ m = 3m_{1} + 1;\ \ \ n = 3n_{1} + 1:\]

\[\left( 3m_{1} + 1 \right)^{2} + \left( 3n_{1} + 1 \right)^{2} =\]

\[= 9m_{1}^{2} + 6m_{1} + 1 +\]

\[+ 9n_{1}^{2} + 6n_{1} + 1 =\]

\[= 9m_{1}^{2} + 6m_{1} + 9n_{1}^{2} + 6n_{1} + 2\]

\[\text{\ \ }не\ кратно\ 3.\]

\[Противоречие.\]

\[2)\ m = 3m_{1} + 2;\ \ \ n = 3n_{1} + 2:\]

\[\left( 3m_{1} + 2 \right)^{2} + \left( 3n_{1} + 2 \right)^{2} =\]

\[= 9m_{1}^{2} + 12m_{1} + 4 +\]

\[+ 9n_{1}^{2} + 12n_{1} + 4 =\]

\[= 9m_{1}^{2} + 12m_{1} + 9n_{1}^{2} +\]

\[+ 12n_{1} + 8\ \ не\ кратно\ 3.\]

\[Противоречие.\]

\[Следовательно:\]

\[m\ \vdots 3;\ \ n \vdots 3.\]