Запиши сумму всех решений уравнения $n^2 + p^2 = 3np + 1$, где $n$ - натуральное число, $p$ - простое. (Для каждого решения найди $n + p$ и в ответе запиши сумму всех таких значений.)

Преобразуем уравнение: $n^2 - 3np + p^2 = 1$ $(n-p)^2 = np + 1$ Пусть $n > p$. Тогда $n = p + k$, где $k$ - натуральное число. $(p+k)^2 + p^2 = 3(p+k)p + 1$ $p^2 + 2pk + k^2 + p^2 = 3p^2 + 3pk + 1$ $2p^2 + 2pk + k^2 = 3p^2 + 3pk + 1$ $0 = p^2 + pk - k^2 + 1$ $p^2 + pk + (1-k^2) = 0$ Рассмотрим это уравнение как квадратное относительно $p$. Тогда дискриминант равен: $D = k^2 - 4(1-k^2) = k^2 - 4 + 4k^2 = 5k^2 - 4$ Чтобы $p$ было целым числом, $D$ должен быть полным квадратом. То есть, $5k^2 - 4 = m^2$ для некоторого целого $m$. $5k^2 - m^2 = 4$ Перебором находим подходящие значения $k$: - Если $k = 1$, то $5(1)^2 - 4 = 1 = 1^2$, то есть $m = 1$. Тогда $p = \frac{-1 \pm 1}{2}$, что не является натуральным числом. - Если $k = 2$, то $5(2)^2 - 4 = 20 - 4 = 16 = 4^2$, то есть $m = 4$. Тогда $p = \frac{-2 \pm 4}{2}$. $p = \frac{2}{2} = 1$ (не простое) или $p = \frac{-6}{2} = -3$ (не подходит). - Если $k = 4$, то $5(4)^2 - 4 = 80 - 4 = 76$ - не полный квадрат. - Если $k = 5$, то $5(5)^2 - 4 = 125 - 4 = 121 = 11^2$, то есть $m = 11$. Тогда $p = \frac{-5 \pm 11}{2}$. $p = \frac{6}{2} = 3$ или $p = \frac{-16}{2} = -8$ (не подходит). Если $p=3$, то $n = p + k = 3 + 5 = 8$. Проверим: $8^2 + 3^2 = 64 + 9 = 73$. $3(8)(3) + 1 = 72 + 1 = 73$. Значит, $n=8, p=3$ - решение. $n+p = 8+3 = 11$. Теперь рассмотрим случай $p > n$. Пусть $p = n + l$, где $l$ - натуральное число. Тогда $n^2 + (n+l)^2 = 3n(n+l) + 1$ $n^2 + n^2 + 2nl + l^2 = 3n^2 + 3nl + 1$ $2n^2 + 2nl + l^2 = 3n^2 + 3nl + 1$ $0 = n^2 + nl - l^2 + 1$ $n^2 + nl + (1-l^2) = 0$ $D = l^2 - 4(1-l^2) = 5l^2 - 4 = m^2$ Как и ранее, $5l^2 - m^2 = 4$. Мы уже нашли, что при $l=1$ нет решений, при $l=2$ нет решений, при $l=5$, $n = \frac{-5 \pm 11}{2}$, то есть $n = 3$. Тогда $p = n+l = 3+5 = 8$, но 8 не простое. Также рассмотрим случай $n = p$. Тогда $n^2 + n^2 = 3n^2 + 1$, что приводит к $2n^2 = 3n^2 + 1$, то есть $n^2 = -1$, что невозможно. Рассмотрим случай $k=0$, тогда $n=p$ и уравнение примет вид $2n^2 = 3n^2+1 implies n^2 = -1$, что невозможно, т.к. $n$ натуральное число. Единственное решение: $n=8$, $p=3$, и $n+p=11$. Ответ: 11