Запиши сумму всех решений уравнения $n^2 + p^2 = 3np + 1$, где $n$ – натуральное число, $p$ – простое. (Для каждого решения найди $n + p$ и в ответе запиши сумму всех таких значений.)

Дано уравнение: $n^2 + p^2 = 3np + 1$, где $n$ - натуральное число, $p$ - простое число. Наша задача - найти все возможные решения этого уравнения и вычислить сумму $n + p$ для каждого решения, а затем сложить все полученные суммы. Перепишем уравнение в виде: $n^2 - 3np + p^2 - 1 = 0$ Рассмотрим это уравнение как квадратное относительно $n$. Тогда дискриминант равен: $D = (-3p)^2 - 4(p^2 - 1) = 9p^2 - 4p^2 + 4 = 5p^2 + 4$ Так как $n$ - натуральное число, дискриминант должен быть полным квадратом. То есть, $5p^2 + 4 = k^2$ для некоторого целого $k$. Перепишем это уравнение как $k^2 - 5p^2 = 4$. Перебираем простые числа $p$: 1. Если $p = 2$, то $5(2^2) + 4 = 24$, что не является полным квадратом. 2. Если $p = 3$, то $5(3^2) + 4 = 49 = 7^2$. Тогда $n = \frac{3p \pm k}{2} = \frac{3(3) \pm 7}{2} = \frac{9 \pm 7}{2}$. Значит, $n_1 = \frac{9 + 7}{2} = 8$ и $n_2 = \frac{9 - 7}{2} = 1$. Проверяем: Если $n = 8$, то $8^2 + 3^2 = 64 + 9 = 73$, и $3(8)(3) + 1 = 72 + 1 = 73$. Подходит. Если $n = 1$, то $1^2 + 3^2 = 1 + 9 = 10$, и $3(1)(3) + 1 = 9 + 1 = 10$. Подходит. Тогда для $n = 8$, $n + p = 8 + 3 = 11$. Для $n = 1$, $n + p = 1 + 3 = 4$. 3. Если $p = 5$, то $5(5^2) + 4 = 129$, что не является полным квадратом. 4. Если $p = 7$, то $5(7^2) + 4 = 249$, что не является полным квадратом. 5. Если $p = 11$, то $5(11^2) + 4 = 609$, что не является полным квадратом. Таким образом, у нас есть два решения: $(n = 8, p = 3)$ и $(n = 1, p = 3)$. Сумма значений $n + p$ для этих решений равна $11 + 4 = 15$. Ответ: 15