18. Задумано двузначное число, которое делится на 5. К нему справа приписали это число еще раз. Оказалось, что получившееся четырехзначное число делится на 11. Какое число задумали? Напишите свое решение.

Решим эту задачу: 1. Представим число: * Пусть задуманное двузначное число равно $10a + b$, где $a$ и $b$ - цифры, причем $a$ не равно 0. * Так как число делится на 5, то $b$ может быть либо 0, либо 5. * Когда к числу приписали его еще раз, получилось четырехзначное число $100(10a + b) + (10a + b) = 101(10a + b)$. 2. Условие делимости на 11: * По условию, четырехзначное число делится на 11. То есть $101(10a + b)$ делится на 11. * Число 101 при делении на 11 дает в остатке 2, то есть $101 = 11 * 9 + 2$. * Получаем, что $2(10a + b)$ должно делиться на 11, а значит, и $(10a + b)$ должно делиться на 11. 3. Найдем число: * Если $b = 0$, то $10a$ должно делиться на 11. Это возможно только если $a = 0$, но $a$ не может быть равно 0. * Если $b = 5$, то $10a + 5$ должно делиться на 11. Переберем возможные значения $a$ от 1 до 9: * $a = 1: 10 * 1 + 5 = 15$ (не делится на 11) * $a = 2: 10 * 2 + 5 = 25$ (не делится на 11) * $a = 3: 10 * 3 + 5 = 35$ (не делится на 11) * $a = 4: 10 * 4 + 5 = 45$ (не делится на 11) * $a = 5: 10 * 5 + 5 = 55$ (делится на 11) * $a = 6: 10 * 6 + 5 = 65$ (не делится на 11) * $a = 7: 10 * 7 + 5 = 75$ (не делится на 11) * $a = 8: 10 * 8 + 5 = 85$ (не делится на 11) * $a = 9: 10 * 9 + 5 = 95$ (не делится на 11) 4. Вывод: * Подходит только $a = 5$ и $b = 5$, значит задуманное число равно 55. Ответ: Задумали число 55.