ЗАДАНИЕ №7 В треугольнике ABC угол C равен 58°, AD и ВЕ - биссектрисы, пересекающиеся в точке О. Найдите угол АОВ.

Рассмотрим треугольник ABC. Сумма углов в треугольнике равна 180 градусам. \[\angle A + \angle B + \angle C = 180^{\circ}\] Угол C известен, \(\angle C = 58^{\circ}\). Так как AD и BE - биссектрисы, то углы \(\angle CAD = \angle BAD\) и \(\angle ABE = \angle CBE\). Пусть \(\angle A = \alpha\) и \(\angle B = \beta\). Тогда: \[\alpha + \beta + 58^{\circ} = 180^{\circ}\] \[\alpha + \beta = 180^{\circ} - 58^{\circ}\] \[\alpha + \beta = 122^{\circ}\] Так как AD и BE - биссектрисы, то: \[\angle BAD = \frac{\alpha}{2}\] \[\angle ABE = \frac{\beta}{2}\] Рассмотрим треугольник AOB. Сумма углов в треугольнике AOB равна 180 градусам. \[\angle AOB + \angle OAB + \angle OBA = 180^{\circ}\] \[\angle AOB + \frac{\alpha}{2} + \frac{\beta}{2} = 180^{\circ}\] \[\angle AOB = 180^{\circ} - \frac{\alpha}{2} - \frac{\beta}{2}\] \[\angle AOB = 180^{\circ} - \frac{\alpha + \beta}{2}\] Подставим \(\alpha + \beta = 122^{\circ}\): \[\angle AOB = 180^{\circ} - \frac{122^{\circ}}{2}\] \[\angle AOB = 180^{\circ} - 61^{\circ}\] \[\angle AOB = 119^{\circ}\] Ответ: Угол AOB равен 119 градусов. Развернутый ответ: Сначала мы рассмотрели треугольник ABC и выразили сумму углов A и B через угол C. Затем, используя то, что AD и BE - биссектрисы, мы выразили углы OAB и OBA через углы A и B соответственно. После этого мы рассмотрели треугольник AOB и выразили угол AOB через углы OAB и OBA. Подставив ранее полученное выражение для суммы углов A и B, мы нашли угол AOB, который равен 119 градусам.