В данном задании требуется определить, в каких случаях 'не' с наречием пишется слитно. Разберем каждое наречие в предложении:
1. 'неуверенно' - можно подобрать синоним без 'не' - 'робко', следовательно, пишется слитно.
2. 'необдуманно' - можно подобрать синоним без 'не' - 'легкомысленно', следовательно, пишется слитно.
3. 'не вникая' - это деепричастие, а не наречие.
4. 'невозмутимо' - можно подобрать синоним без 'не' - 'хладнокровно', следовательно, пишется слитно.
Ответ: неуверенно,необдуманно,невозмутимо