Задание 4: В трапеции ABCD с основаниями AD и BC диагонали пересекаются в точке O. AD=12 см, BC=4 см, \(S_{\triangle AOD} = 45\) см². Найти: \(S_{\triangle BOC}\)

Решение: Рассмотрим треугольники \(\triangle BOC\) и \(\triangle AOD\). Так как AD и BC - основания трапеции, то BC || AD. Следовательно, \(\angle BOC = \angle AOD\) (как вертикальные) и \(\angle OBC = \angle ODA\) (как накрест лежащие при BC || AD и секущей BD). Тогда \(\triangle BOC \sim \triangle AOD\) по двум углам. Коэффициент подобия \(k = \frac{BC}{AD} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}\). Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия: \(\frac{S_{\triangle BOC}}{S_{\triangle AOD}} = k^2 = \left(\frac{1}{3}\right)^2 = \frac{1}{9}\). (S_{\triangle BOC} = \frac{1}{9} \cdot S_{\triangle AOD} = \frac{1}{9} \cdot 45 = 5\) см². Ответ: \(S_{\triangle BOC} = 5\) см².