Задание 2: Стороны правильного треугольника ABC равны 6. Найдите скалярное произведение векторов AB и AC.

Для решения этой задачи нам потребуется знание определения скалярного произведения векторов и свойств правильного треугольника. **Определение:** Скалярное произведение двух векторов \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) равно произведению длин этих векторов на косинус угла между ними: \(\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos(\theta)\), где \(\theta\) - угол между векторами. **Решение:** 1. **Определение длин векторов:** Так как треугольник ABC правильный, а его стороны равны 6, то длины векторов \(\vec{AB}\) и \(\vec{AC}\) равны 6. То есть, \(|\vec{AB}| = 6\) и \(|\vec{AC}| = 6\). 2. **Определение угла между векторами:** В правильном треугольнике все углы равны 60 градусам. Следовательно, угол между векторами \(\vec{AB}\) и \(\vec{AC}\) равен 60 градусам. Переведем градусы в радианы: \(\theta = 60^\circ = \frac{\pi}{3}\). 3. **Вычисление скалярного произведения:** Теперь мы можем вычислить скалярное произведение векторов \(\vec{AB}\) и \(\vec{AC}\) по формуле: \(\vec{AB} \cdot \vec{AC} = |\vec{AB}| |\vec{AC}| \cos(60^\circ) = 6 \cdot 6 \cdot \cos(\frac{\pi}{3})\) Так как \(\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}\), то: \(\vec{AB} \cdot \vec{AC} = 6 \cdot 6 \cdot \frac{1}{2} = 36 \cdot \frac{1}{2} = 18\) **Ответ:** Скалярное произведение векторов \(\vec{AB}\) и \(\vec{AC}\) равно 18. **Развёрнутый ответ для школьника:** Представь себе, что у тебя есть два вектора, которые выходят из одной точки, как стороны треугольника. Скалярное произведение этих векторов показывает, насколько "в одном направлении" они смотрят. Если вектора смотрят в одном направлении (угол между ними маленький), скалярное произведение будет большим. Если вектора перпендикулярны (угол 90 градусов), скалярное произведение будет равно нулю. Если вектора смотрят в противоположные стороны, скалярное произведение будет отрицательным. В этой задаче у нас правильный треугольник, то есть все стороны и углы одинаковые. Угол между векторами \(\vec{AB}\) и \(\vec{AC}\) равен 60 градусам, что довольно близко к тому, чтобы смотреть в одном направлении. Поэтому скалярное произведение получается положительным числом. Мы просто умножаем длины векторов и косинус угла между ними, чтобы получить ответ.