Задание 13: Можно ли обойти все рёбра додекаэдра, пройдя по каждому ребру ровно один раз? В ответе запишите 1, если это возможно, или 0, если невозможно.

**Решение:** Для того чтобы определить, возможно ли обойти все рёбра додекаэдра, пройдя по каждому ребру ровно один раз (то есть, существует ли эйлеров цикл), необходимо проверить, сколько вершин имеют нечётную степень (количество рёбер, сходящихся в этой вершине). В додекаэдре каждая вершина является точкой соединения трёх рёбер. Следовательно, степень каждой вершины равна 3, что является нечётным числом. Теорема Эйлера утверждает, что эйлеров цикл (путь, проходящий по каждому ребру ровно один раз) существует только тогда, когда в графе нет вершин с нечётной степенью или есть только две вершины с нечётной степенью. В додекаэдре все 20 вершин имеют нечётную степень (3). Так как количество вершин с нечётной степенью больше двух, то обойти все рёбра додекаэдра, пройдя по каждому ребру ровно один раз, невозможно. **Ответ:** 0