Предложение сложное, состоит из двух частей. Первая часть: «Кто варежки пестрые вяжет». Подлежащее: «Кто»; сказуемое: «вяжет»; дополнение: «варежки пестрые». Вторая часть: «старинные песни поет». Подлежащее: подразумевается (вместо него можно поставить «он»); сказуемое: «поет»; дополнение: «старинные песни».
Убрать каракули