ЗАДАНИЕ №7: В треугольнике \(ABC\) угол \(C\) равен 58°, \(AD\) и \(BE\) – биссектрисы, пересекающиеся в точке \(O\). Найдите угол \(AOB\).

Дано: \(\triangle ABC\), \(\angle C = 58^\circ\), \(AD\) и \(BE\) - биссектрисы, пересекаются в точке \(O\). Найти: \(\angle AOB\). Решение: 1. Сумма углов треугольника равна 180°. Найдем сумму углов \(A\) и \(B\) в треугольнике \(ABC\): \(\angle A + \angle B = 180^\circ - \angle C = 180^\circ - 58^\circ = 122^\circ\) 2. Так как \(AD\) и \(BE\) - биссектрисы, то они делят углы \(A\) и \(B\) пополам. Рассмотрим углы \(\frac{\angle A}{2}\) и \(\frac{\angle B}{2}\). Их сумма равна: \(\frac{\angle A}{2} + \frac{\angle B}{2} = \frac{\angle A + \angle B}{2} = \frac{122^\circ}{2} = 61^\circ\) 3. Рассмотрим треугольник \(AOB\). Сумма углов в треугольнике \(AOB\) равна 180°. \(\angle AOB = 180^\circ - (\frac{\angle A}{2} + \frac{\angle B}{2}) = 180^\circ - 61^\circ = 119^\circ\) Ответ: \(\angle AOB = 119^\circ\). **Развернутый ответ:** В этой задаче нам дан треугольник \(ABC\), где угол \(C\) равен 58 градусам. Также нам известно, что \(AD\) и \(BE\) - это биссектрисы, то есть они делят углы \(A\) и \(B\) пополам. Нам нужно найти угол \(AOB\), который образуется при пересечении этих биссектрис. Первым делом мы находим сумму углов \(A\) и \(B\) всего треугольника \(ABC\), вычитая угол \(C\) из 180 градусов (так как сумма углов в треугольнике всегда 180 градусов). Получается, что сумма углов \(A\) и \(B\) равна 122 градусам. Далее мы рассматриваем половинки углов \(A\) и \(B\), так как биссектрисы делят углы пополам. Мы делим сумму углов \(A\) и \(B\) на 2 и получаем 61 градус. Это сумма половинок углов \(A\) и \(B\). Наконец, мы рассматриваем треугольник \(AOB\), в котором нам нужно найти угол \(AOB\). Мы знаем, что сумма углов в этом треугольнике тоже 180 градусов. Мы вычитаем сумму половинок углов \(A\) и \(B\) (то есть 61 градус) из 180 градусов и получаем угол \(AOB\), который равен 119 градусам.