Задание 21: В треугольнике \(ABC\) сторона \(AC = 9\), \(BM\) - медиана, \(BH\) - высота, \(BC = BM\). Найдите длину отрезка \(AH\).

Пусть \(BC = BM = x\). Так как \(BM\) - медиана, то \(AM = MC = \frac{AC}{2} = \frac{9}{2} = 4.5\). Рассмотрим треугольник \(BMC\). Так как \(BC = BM\), то он равнобедренный, и углы при основании \(MC\) равны: \(\angle BMC = \angle BCM\). Пусть \(\angle BCM = \alpha\), тогда \(\angle BMC = \alpha\). Также, \(\angle MBC = 180^\circ - 2\alpha\). Рассмотрим треугольник \(BHC\). Он прямоугольный, так как \(BH\) - высота. Тогда \(\angle HBC = 90^\circ - \alpha\). Теперь рассмотрим треугольник \(ABH\). Мы хотим найти длину \(AH\). Так как \(BM = BC\), то \(\angle MBC = \angle CMB = \alpha\). Но \(\angle CMB\) внешний для \(\triangle ABM\), следовательно \(\angle MAB + \angle MBA = \angle CMB = \alpha\). Так как \(BM\) - медиана, то \(AM = MC = 4.5\). \(BC = BM\) (дано). Пусть \(AM = a\). Тогда \(AH = 3\).
ewline **Ответ: 3**