Задание 13: В четырёхугольник $ABCD$ можно вписать и вокруг него можно описать окружность. Диагонали этого четырёхугольника перпендикулярны. Найдите его площадь, если радиус описанной окружности равен 5, а $AB = 2 \cdot BC$.

Поскольку в четырёхугольник $ABCD$ можно вписать и вокруг него можно описать окружность, и его диагонали перпендикулярны, он является прямоугольным дельтоидом (бицентричным четырёхугольником с перпендикулярными диагоналями). Пусть $BC = x$, тогда $AB = 2x$. Обозначим точку пересечения диагоналей как $O$. Так как диагонали перпендикулярны, $ABCD$ можно разбить на четыре прямоугольных треугольника. Поскольку около четырёхугольника описана окружность радиуса 5, можно воспользоваться свойством бицентричных четырёхугольников с перпендикулярными диагоналями: $4R^2 = a^2 + b^2 + c^2 + d^2$, где $R$ - радиус описанной окружности, а $a, b, c, d$ - стороны четырёхугольника. В нашем случае, $a = AB = 2x$, $b = BC = x$, $c = CD = 2x$, $d = DA = x$. Тогда, $4 \cdot 5^2 = (2x)^2 + x^2 + (2x)^2 + x^2 \Rightarrow 100 = 4x^2 + x^2 + 4x^2 + x^2 \Rightarrow 100 = 10x^2 \Rightarrow x^2 = 10 \Rightarrow x = \sqrt{10}$. Итак, $BC = DA = \sqrt{10}$, и $AB = CD = 2\sqrt{10}$. Площадь такого четырёхугольника можно найти как половину произведения его диагоналей: $S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BD$. Диагонали $AC$ и $BD$ можно найти, рассмотрев прямоугольные треугольники $ABC$ и $ADC$. $AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{(2\sqrt{10})^2 + (\sqrt{10})^2} = \sqrt{40 + 10} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$. $BD = \sqrt{BC^2 + CD^2} = \sqrt{(\sqrt{10})^2 + (2\sqrt{10})^2} = \sqrt{10 + 40} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$. Тогда площадь $S = \frac{1}{2} \cdot 5\sqrt{2} \cdot 5\sqrt{2} = \frac{1}{2} \cdot 25 \cdot 2 = 25$. **Ответ: 25**