Разберем каждое утверждение:
1) чёрный - в корне слова после шипящей под ударением пишется ё.
Это верно, так как под ударением после шипящей пишется "ё".
2) (они) борются - в окончании глаголов I спряжения в 3-м л. мн.ч. пишется -ют.
Это неверно. Глагол "бороться" относится к I спряжению, но в 3-м лице множественного числа пишется окончание -утся, а не -ют. Правильно: борются.
3) легкоатлетическая - сложное прилагательное образовано от равноправных слов, поэтому пишется слитно.
Это верно, так как сложное прилагательное образовано от слов "лёгкая атлетика", которые тесно связаны по смыслу, и пишется слитно.
4) коса - слово с безударной проверяемой гласной в корне; проверочное слово косы.
Это верно, так как безударную гласную "о" в корне можно проверить словом "косы".
Неверное утверждение: 2) (они) борются - в окончании глаголов I спряжения в 3-м л. мн.ч. пишется -ют.