Задание 7. Решите уравнение: 1) $(x+4)^4 - 6(x+4)^2 - 7 = 0$ 2) $(x-2)^4 - (x-2)^2 - 6 = 0$ 3) $(x+3)^4 - 2(x+3)^2 - 15 = 0$ 4) $(x-4)^4 - 4(x-4)^2 - 21 = 0$

Привет, ученики! Сейчас мы с вами разберем решение этих уравнений. Все они имеют схожую структуру и решаются через замену переменной, приводя к квадратному уравнению. Давайте рассмотрим каждый пример подробно. 1) $(x+4)^4 - 6(x+4)^2 - 7 = 0$ * Шаг 1: Замена переменной Пусть $t = (x+4)^2$. Тогда уравнение примет вид: $t^2 - 6t - 7 = 0$ * Шаг 2: Решение квадратного уравнения Решим квадратное уравнение $t^2 - 6t - 7 = 0$. Можно воспользоваться теоремой Виета или дискриминантом. Найдем дискриминант $D$: $D = (-6)^2 - 4(1)(-7) = 36 + 28 = 64$ Теперь найдем корни $t_1$ и $t_2$: $t_1 = \frac{-(-6) + \sqrt{64}}{2(1)} = \frac{6 + 8}{2} = 7$ $t_2 = \frac{-(-6) - \sqrt{64}}{2(1)} = \frac{6 - 8}{2} = -1$ * Шаг 3: Возврат к исходной переменной Теперь вернемся к исходной переменной $x$. У нас есть два случая: 1. $(x+4)^2 = 7$ $x+4 = \pm \sqrt{7}$ $x_1 = -4 + \sqrt{7}$ $x_2 = -4 - \sqrt{7}$ 2. $(x+4)^2 = -1$ Так как квадрат не может быть отрицательным, то это уравнение не имеет решений в вещественных числах. * Ответ: $x_1 = -4 + \sqrt{7}, x_2 = -4 - \sqrt{7}$ 2) $(x-2)^4 - (x-2)^2 - 6 = 0$ * Шаг 1: Замена переменной Пусть $t = (x-2)^2$. Тогда уравнение примет вид: $t^2 - t - 6 = 0$ * Шаг 2: Решение квадратного уравнения Решим квадратное уравнение $t^2 - t - 6 = 0$. Найдем дискриминант $D$: $D = (-1)^2 - 4(1)(-6) = 1 + 24 = 25$ Теперь найдем корни $t_1$ и $t_2$: $t_1 = \frac{-(-1) + \sqrt{25}}{2(1)} = \frac{1 + 5}{2} = 3$ $t_2 = \frac{-(-1) - \sqrt{25}}{2(1)} = \frac{1 - 5}{2} = -2$ * Шаг 3: Возврат к исходной переменной Теперь вернемся к исходной переменной $x$. У нас есть два случая: 1. $(x-2)^2 = 3$ $x-2 = \pm \sqrt{3}$ $x_1 = 2 + \sqrt{3}$ $x_2 = 2 - \sqrt{3}$ 2. $(x-2)^2 = -2$ Так как квадрат не может быть отрицательным, то это уравнение не имеет решений в вещественных числах. * Ответ: $x_1 = 2 + \sqrt{3}, x_2 = 2 - \sqrt{3}$ 3) $(x+3)^4 - 2(x+3)^2 - 15 = 0$ * Шаг 1: Замена переменной Пусть $t = (x+3)^2$. Тогда уравнение примет вид: $t^2 - 2t - 15 = 0$ * Шаг 2: Решение квадратного уравнения Решим квадратное уравнение $t^2 - 2t - 15 = 0$. Найдем дискриминант $D$: $D = (-2)^2 - 4(1)(-15) = 4 + 60 = 64$ Теперь найдем корни $t_1$ и $t_2$: $t_1 = \frac{-(-2) + \sqrt{64}}{2(1)} = \frac{2 + 8}{2} = 5$ $t_2 = \frac{-(-2) - \sqrt{64}}{2(1)} = \frac{2 - 8}{2} = -3$ * Шаг 3: Возврат к исходной переменной Теперь вернемся к исходной переменной $x$. У нас есть два случая: 1. $(x+3)^2 = 5$ $x+3 = \pm \sqrt{5}$ $x_1 = -3 + \sqrt{5}$ $x_2 = -3 - \sqrt{5}$ 2. $(x+3)^2 = -3$ Так как квадрат не может быть отрицательным, то это уравнение не имеет решений в вещественных числах. * Ответ: $x_1 = -3 + \sqrt{5}, x_2 = -3 - \sqrt{5}$ 4) $(x-4)^4 - 4(x-4)^2 - 21 = 0$ * Шаг 1: Замена переменной Пусть $t = (x-4)^2$. Тогда уравнение примет вид: $t^2 - 4t - 21 = 0$ * Шаг 2: Решение квадратного уравнения Решим квадратное уравнение $t^2 - 4t - 21 = 0$. Найдем дискриминант $D$: $D = (-4)^2 - 4(1)(-21) = 16 + 84 = 100$ Теперь найдем корни $t_1$ и $t_2$: $t_1 = \frac{-(-4) + \sqrt{100}}{2(1)} = \frac{4 + 10}{2} = 7$ $t_2 = \frac{-(-4) - \sqrt{100}}{2(1)} = \frac{4 - 10}{2} = -3$ * Шаг 3: Возврат к исходной переменной Теперь вернемся к исходной переменной $x$. У нас есть два случая: 1. $(x-4)^2 = 7$ $x-4 = \pm \sqrt{7}$ $x_1 = 4 + \sqrt{7}$ $x_2 = 4 - \sqrt{7}$ 2. $(x-4)^2 = -3$ Так как квадрат не может быть отрицательным, то это уравнение не имеет решений в вещественных числах. * Ответ: $x_1 = 4 + \sqrt{7}, x_2 = 4 - \sqrt{7}$ Надеюсь, теперь вам все понятно. Если возникнут вопросы, не стесняйтесь спрашивать!