Задание №4: Касательные CA и CB к окружности с центром O образуют угол ACB, равный 60°. Найдите длину отрезка AC, если AB = 4.

Привет! Давай решим эту задачу вместе. 1. Понимание задачи: У нас есть окружность с центром O. Из точки C проведены две касательные CA и CB к этой окружности. Угол между касательными (угол ACB) равен 60 градусам. Нам нужно найти длину отрезка AC, если длина отрезка AB равна 4. 2. Решение: * Так как CA и CB – касательные к окружности, то углы OAC и OBC прямые, то есть равны 90 градусам. \[\angle OAC = \angle OBC = 90^{\circ}\] * Рассмотрим четырехугольник OACB. Сумма углов в четырехугольнике равна 360 градусам. Зная, что \(\angle ACB = 60^{\circ}\), можем найти угол AOB: \[\angle AOB = 360^{\circ} - \angle OAC - \angle OBC - \angle ACB = 360^{\circ} - 90^{\circ} - 90^{\circ} - 60^{\circ} = 120^{\circ}\] * Треугольник AOB равнобедренный, так как OA и OB – радиусы окружности. Следовательно, углы OAB и OBA равны. Найдем их: \[\angle OAB = \angle OBA = \frac{180^{\circ} - \angle AOB}{2} = \frac{180^{\circ} - 120^{\circ}}{2} = 30^{\circ}\] * Теперь рассмотрим треугольник ABC. Так как CA и CB – касательные, то CA = CB (свойство касательных, проведенных из одной точки). Значит, треугольник ABC – равнобедренный с основанием AB. Углы CAB и CBA равны: \[\angle CAB = \angle CBA = \frac{180^{\circ} - \angle ACB}{2} = \frac{180^{\circ} - 60^{\circ}}{2} = 60^{\circ}\] * Так как все углы треугольника ABC равны 60 градусам, то треугольник ABC – равносторонний. Следовательно, AC = BC = AB. * По условию AB = 4, значит, AC = 4. 3. Ответ: Длина отрезка AC равна 4.