Задание 8. Геометрия. Планиметрия. Решите задачу: В тупоугольном треугольнике ABC известно, что AC=BC=10, высота AH равна \(\sqrt{19}\). Найдите косинус угла ACB.

Для решения этой задачи, мы воспользуемся геометрическими свойствами и тригонометрическими функциями. 1. Определим AH как высоту, проведенную к стороне BC: Дано, что AH = \(\sqrt{19}\). 2. Найдем HB: Рассмотрим прямоугольный треугольник AHB. По теореме Пифагора: \[AB^2 = AH^2 + HB^2\] Для нахождения HB, нам нужно сначала найти AB. Так как треугольник ABC равнобедренный (AC = BC = 10), высота AH не является медианой, поэтому мы не можем просто разделить BC пополам. Однако мы можем рассмотреть треугольник ABC и применить теорему косинусов. 3. Применим теорему косинусов к треугольнику ABC: \(AB^2 = AC^2 + BC^2 - 2 cdot AC cdot BC cdot \cos(\angle ACB)\) \(AB^2 = 10^2 + 10^2 - 2 cdot 10 cdot 10 cdot \cos(\angle ACB)\) \(AB^2 = 200 - 200 \cos(\angle ACB)\) 4. Выразим HB через BC и AB: \(HB = BC + CH\) Из прямоугольного треугольника AHC: \(AC^2 = AH^2 + CH^2\) \(10^2 = (\sqrt{19})^2 + CH^2\) \(100 = 19 + CH^2\) \(CH^2 = 81\) \(CH = 9\) Тогда \(HB = BC + CH = 10 + 9 = 19\) 5. Найдем AB, используя треугольник AHB: \(AB^2 = AH^2 + HB^2\) \(AB^2 = (\sqrt{19})^2 + 19^2\) \(AB^2 = 19 + 361 = 380\) 6. Подставим AB в теорему косинусов: \(380 = 200 - 200 \cos(\angle ACB)\) \(180 = -200 \cos(\angle ACB)\) \(\cos(\angle ACB) = -\frac{180}{200} = -\frac{9}{10} = -0.9\) Ответ: Косинус угла ACB равен -0.9