Задание 12 – Тренинг. В ромбе ABCD известно, что AB = 5, AC = √19. Найдите синус угла BAC.

Для решения задачи нам понадобятся знания геометрии и тригонометрии. 1. **Рассмотрим ромб ABCD.** В ромбе все стороны равны, значит AB = BC = CD = DA = 5. 2. **Рассмотрим треугольник ABC.** Нам известны две стороны AB = 5 и AC = √19. 3. **Обозначим угол BAC за α.** Нам нужно найти sin(α). 4. **Воспользуемся теоремой косинусов для треугольника ABC.** Теорема косинусов гласит: \(BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 cdot AB cdot AC cdot cos(α)\). Подставим известные значения: \[5^2 = 5^2 + (\sqrt{19})^2 - 2 cdot 5 cdot \sqrt{19} cdot cos(α)\] \[25 = 25 + 19 - 10\sqrt{19} cdot cos(α)\] \[0 = 19 - 10\sqrt{19} cdot cos(α)\] 5. **Выразим cos(α) из полученного уравнения:** \[10\sqrt{19} cdot cos(α) = 19\] \[cos(α) = \frac{19}{10\sqrt{19}} = \frac{\sqrt{19}}{10}\] 6. **Теперь найдем sin(α), используя основное тригонометрическое тождество:** \[sin^2(α) + cos^2(α) = 1\] \[sin^2(α) = 1 - cos^2(α)\] \[sin^2(α) = 1 - (\frac{\sqrt{19}}{10})^2 = 1 - \frac{19}{100} = \frac{100 - 19}{100} = \frac{81}{100}\] 7. **Извлечем квадратный корень, чтобы найти sin(α).** Так как угол BAC острый, синус будет положительным: \[sin(α) = \sqrt{\frac{81}{100}} = \frac{9}{10}\] Таким образом, синус угла BAC равен 0.9. **Ответ:** \(sin(∠BAC) = \frac{9}{10} = 0.9\)