Задача: Окружность, вписанная в равнобедренный треугольник, делит в точке касания одну из боковых сторон на два отрезка, длины которых равны 4 и 3, считая от вершины. Найдите периметр треугольника.

Давайте решим эту задачу. Дано: Равнобедренный треугольник, вписанная окружность делит боковую сторону на отрезки 4 и 3. Найти: Периметр треугольника. Решение: 1. Обозначим вершины треугольника как A, B и C, где AB и BC – боковые стороны, а AC – основание. Пусть окружность касается стороны AB в точке K, а стороны BC в точке M. По условию, AK = 4 и KB = 3. 2. Так как касательные, проведённые из одной точки к окружности, равны, то BK = BM = 3. 3. Поскольку треугольник равнобедренный, AB = BC. Значит, BC = AK + KB = 4 + 3 = 7. 4. Следовательно, CM = BC - BM = 7 - 3 = 4. 5. Опять же, из равенства касательных, проведённых из одной точки, AM = AK = 4. 6. Теперь мы знаем, что AC = AM + MC = 4 + 4 = 8. 7. Периметр треугольника P равен сумме длин всех его сторон: P = AB + BC + AC = 7 + 7 + 8 = 22. Ответ: 22 Теперь запишем решение с использованием MathJax: Пусть $AB$ и $BC$ - боковые стороны равнобедренного треугольника, $AC$ - основание. Окружность касается $AB$ в точке $K$, а $BC$ в точке $M$. 1. $AK = 4$, $KB = 3$ 2. $BK = BM = 3$ (касательные из одной точки) 3. $BC = AB = AK + KB = 4 + 3 = 7$ 4. $CM = BC - BM = 7 - 3 = 4$ 5. $AM = AK = 4$ (касательные из одной точки) 6. $AC = AM + MC = 4 + 4 = 8$ 7. Периметр $P = AB + BC + AC = 7 + 7 + 8 = 22$ Ответ: 22